Nhiều học sinh nhìn vào một hình có các đoạn thẳng đan xen rồi bắt đầu đếm ngay những tam giác nhỏ nhất. Khi đếm xong, con thường đưa ra một đáp án khá nhanh.
Nhưng rất nhiều bài đếm hình tam giác không chỉ hỏi những tam giác nhỏ nhìn thấy rõ. Trong hình còn có thể có tam giác lớn được ghép từ nhiều tam giác nhỏ, tam giác quay ngược hoặc tam giác nằm chồng lên những hình khác.
Ví dụ, một hình vuông được kẻ hai đường chéo có thể khiến học sinh chỉ thấy 4 tam giác nhỏ ở giữa. Tuy nhiên, nếu quan sát kỹ, hình đó còn có 4 tam giác lớn tạo bởi ba đỉnh của hình vuông.
Vì vậy, đếm hình tam giác không phải là nhìn thấy bao nhiêu hình thì đếm bấy nhiêu. Học sinh cần có cách quan sát theo thứ tự để tránh bỏ sót và không đếm trùng.
Theo ToanTuDuy.org, dạng bài đếm hình không nên được luyện bằng việc đổi vị trí vài đường kẻ rồi yêu cầu học sinh đoán đáp án. Điều quan trọng là con biết tìm hình theo kích thước, chiều quay và vị trí; sau đó giải thích được vì sao mỗi tam giác được tính.
Vì sao học sinh thường sai khi đếm hình tam giác?
Có ba lỗi rất phổ biến.
Chỉ đếm những tam giác nhỏ nhất
Học sinh thường nhìn thấy những tam giác nhỏ, rõ ràng nhất rồi dừng lại.
Ví dụ, trong một tam giác lớn được chia thành 4 tam giác nhỏ, có học sinh chỉ đếm được 4 hình. Nhưng tam giác bao quanh toàn bộ hình cũng là một tam giác, nên đáp án đúng là 5.
Bỏ qua tam giác quay ngược
Nhiều em chỉ tìm tam giác có đỉnh hướng lên trên.
Tuy nhiên, trong các hình được chia đều, có thể có tam giác quay ngược xuống dưới. Dù hướng nào, hình vẫn có 3 cạnh thẳng và 3 đỉnh nên vẫn được tính là tam giác.
Đếm trùng một tam giác nhiều lần
Một tam giác lớn có thể được nhìn thấy khi học sinh quét từ trái sang phải, rồi lại nhìn thấy lần nữa khi quét từ trên xuống dưới.
Nếu không có cách đánh dấu hoặc đếm theo nhóm, học sinh rất dễ tính cùng một hình hai lần.
Trước khi đếm: thế nào mới được gọi là một tam giác?
Một hình được tính là tam giác khi có đủ:
- 3 cạnh thẳng.
- 3 đỉnh.
- Các cạnh khép kín tạo thành một vùng.
Có vài điều học sinh cần nhớ:
- Tam giác nhỏ được tính.
- Tam giác lớn ghép từ nhiều tam giác nhỏ cũng được tính.
- Tam giác quay lên hoặc quay xuống đều được tính.
- Đường kẻ bên trong không làm mất đi tam giác lớn.
- Không được ghép các đoạn gấp khúc thành một cạnh.
- Không được tự tưởng tượng thêm đường chưa được vẽ.
Ví dụ, nếu một cạnh của tam giác gồm hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng, nối liền nhau, học sinh vẫn có thể xem đó là một cạnh.
Nhưng nếu cạnh bị gãy hướng, không thẳng hàng, thì không thể coi là một cạnh của tam giác.
5 bước đếm hình tam giác không bỏ sót
Bước 1: Quan sát toàn bộ hình trước khi đếm
Đừng vội đếm ngay.
Học sinh nên nhìn xem hình được tạo bởi:
- Các tam giác nhỏ bằng nhau.
- Một hình vuông có đường chéo.
- Một hình chữ nhật có các đoạn nối.
- Một tam giác lớn được chia nhỏ.
- Nhiều đường thẳng giao nhau.
Sau đó tự hỏi:
“Trong hình có những tam giác nhỏ nào?”
“Có tam giác nào ghép từ các tam giác nhỏ không?”
“Có tam giác nào quay ngược không?”
Việc nhìn tổng thể trước giúp con không bị cuốn vào những hình nhỏ nhất.
Bước 2: Đếm tam giác nhỏ nhất trước
Học sinh nên tìm các tam giác có kích thước nhỏ nhất, rõ ràng nhất.
Ví dụ, một tam giác lớn được chia thành 4 tam giác nhỏ bởi các đoạn nối trung điểm các cạnh.
Ta thấy ngay:
- 3 tam giác nhỏ hướng lên.
- 1 tam giác nhỏ hướng xuống.
Vậy có:
4 tam giác nhỏ.
Học sinh nên ghi ra nháp:
Tam giác nhỏ: 4 hình.
Ghi từng nhóm giúp tránh việc đếm lại ở bước sau.
Bước 3: Tìm các tam giác ghép có kích thước lớn hơn
Sau khi đếm tam giác nhỏ, học sinh tiếp tục tìm tam giác gồm nhiều phần nhỏ.
Ví dụ, trong hình tam giác lớn chia thành 4 tam giác nhỏ, còn có:
- 1 tam giác lớn bao quanh toàn bộ hình.
Vậy tổng số tam giác là:
4 + 1 = 5 tam giác.
Ở bước này, học sinh cần nhớ:
Một tam giác lớn vẫn được tính dù bên trong có các đoạn thẳng chia nhỏ.
Bước 4: Đếm theo chiều quay
Với các hình lưới tam giác hoặc hình có nhiều đoạn chéo, học sinh nên tách thành hai nhóm:
- Tam giác hướng lên.
- Tam giác hướng xuống.
Ví dụ, một lưới tam giác đều có 3 tam giác nhỏ trên mỗi cạnh có thể có:
- Tam giác nhỏ hướng lên.
- Tam giác nhỏ hướng xuống.
- Tam giác cỡ vừa hướng lên.
- Tam giác lớn hướng lên.
Nếu chỉ đếm tam giác hướng lên, học sinh sẽ bỏ sót nhiều hình.
Một mẹo đơn giản là tự hỏi:
“Có tam giác nào đang quay ngược không?”
Bước 5: Kiểm tra lại bằng cách đổi thứ tự quan sát
Sau khi đã có đáp án, học sinh nên kiểm tra lại theo một hướng khác.
Ví dụ:
- Lần đầu đếm từ nhỏ đến lớn.
- Lần sau đếm từ trái sang phải.
- Hoặc lần đầu đếm tam giác hướng lên, lần sau đếm tam giác hướng xuống.
Nếu hai cách đều cho cùng kết quả, đáp án đáng tin cậy hơn.
Tại ToanTuDuy.org, bước kiểm tra không chỉ dành cho phép tính. Với bài hình học tư duy, kiểm tra bằng một cách quan sát khác giúp học sinh tự phát hiện hình bị bỏ sót hoặc bị đếm trùng.
Ví dụ 1: Hình tam giác lớn chia thành 4 tam giác nhỏ
Hãy tưởng tượng một tam giác đều lớn. Nối trung điểm của ba cạnh để chia hình thành 4 tam giác nhỏ.
Trong hình có:
- 3 tam giác nhỏ hướng lên ở ba góc.
- 1 tam giác nhỏ hướng xuống ở giữa.
- 1 tam giác lớn bao quanh toàn bộ hình.
Vậy tổng số tam giác là:
3 + 1 + 1 = 5 tam giác.
Cách suy luận
Học sinh không nên chỉ nói:
“Có 5 tam giác.”
Nên trình bày:
Có 4 tam giác nhỏ và 1 tam giác lớn.
Vậy có tất cả 5 tam giác.
Cách trình bày này giúp người đọc hiểu con đã đếm theo nhóm, không phải đoán đáp án.
Ví dụ 2: Hình vuông có hai đường chéo
Vẽ hình vuông ABCD. Kẻ hai đường chéo AC và BD, cắt nhau tại O.
Trong hình có các tam giác nhỏ:
- Tam giác AOB.
- Tam giác BOC.
- Tam giác COD.
- Tam giác DOA.
Có:
4 tam giác nhỏ.
Ngoài ra còn có các tam giác lớn:
- Tam giác ABC.
- Tam giác BCD.
- Tam giác CDA.
- Tam giác DAB.
Có:
4 tam giác lớn.
Vậy tổng số tam giác là:
4 + 4 = 8 tam giác.
Vì sao tam giác lớn vẫn được tính?
Ví dụ tam giác ABC có cạnh AC đi qua điểm O.
Dù đường chéo BD cắt AC tại O, đoạn AC vẫn là một đường thẳng nối từ A đến C. Vì vậy ABC vẫn là một tam giác hợp lệ.
Ví dụ 3: Lưới tam giác đều có 3 tam giác nhỏ trên mỗi cạnh
Xét một tam giác đều lớn được chia thành lưới gồm 3 phần bằng nhau trên mỗi cạnh.
Học sinh có thể đếm theo kích thước và chiều quay.
Tam giác hướng lên
- Tam giác nhỏ nhất: 6 hình.
- Tam giác cỡ vừa: 3 hình.
- Tam giác lớn nhất: 1 hình.
Tổng số tam giác hướng lên là:
6 + 3 + 1 = 10 tam giác.
Tam giác hướng xuống
- Tam giác nhỏ hướng xuống: 3 hình.
Tổng số tam giác hướng xuống là:
3 tam giác.
Vậy tổng số tam giác trong hình là:
10 + 3 = 13 tam giác.
Điều cần nhớ
Trong dạng lưới tam giác, học sinh rất dễ chỉ đếm được 10 tam giác hướng lên mà quên 3 tam giác hướng xuống.
Vì vậy, sau khi đếm xong, hãy luôn tự hỏi:
“Mình đã tìm tam giác quay ngược chưa?”
Cách ghi nháp khi đếm hình tam giác
Với hình phức tạp, học sinh không nên chỉ nhìn bằng mắt rồi nhớ trong đầu.
Có thể ghi nháp theo bảng:
| Nhóm tam giác | Số lượng |
|---|---|
| Tam giác nhỏ hướng lên | 6 |
| Tam giác nhỏ hướng xuống | 3 |
| Tam giác cỡ vừa | 3 |
| Tam giác lớn | 1 |
| Tổng cộng | 13 |
Cách ghi này có ba lợi ích:
- Không bỏ sót nhóm tam giác.
- Không đếm trùng.
- Dễ kiểm tra lại khi đáp án có vẻ chưa chắc chắn.
Những lỗi thường gặp khi đếm hình tam giác
Lỗi 1: Thấy đường kẻ bên trong thì không tính tam giác lớn
Ví dụ, một tam giác lớn bị chia thành nhiều phần nhỏ.
Có học sinh nghĩ:
“Tam giác lớn đã bị chia rồi nên không tính.”
Điều này không đúng.
Chỉ cần ba cạnh ngoài vẫn tạo thành một tam giác, hình lớn vẫn được tính.
Lỗi 2: Chỉ đếm tam giác cùng chiều
Học sinh thường quen nhìn tam giác có đỉnh ở trên.
Trong lưới tam giác, tam giác quay ngược rất dễ bị bỏ qua.
Phụ huynh hoặc giáo viên có thể nhắc:
“Con xoay đầu nhìn hình một chút xem có tam giác nào hướng xuống không.”
Lỗi 3: Tự tạo cạnh không có trong hình
Có học sinh nối hai điểm bằng mắt, dù giữa hai điểm không có đường thẳng được vẽ sẵn.
Ví dụ, trong hình có hai đoạn thẳng rời nhau hoặc một đường gấp khúc, học sinh vẫn coi đó là một cạnh.
Điều này không đúng.
Một cạnh tam giác phải là đoạn thẳng có thật trong hình.
Lỗi 4: Đếm trùng tam giác lớn
Học sinh nhìn thấy một tam giác lớn khi đếm từ bên trái, sau đó nhìn lại từ dưới lên và tiếp tục cộng thêm một lần nữa.
Cách tránh lỗi là:
- Đếm theo kích thước.
- Đánh dấu nhẹ từng tam giác đã tính.
- Ghi nháp thành từng nhóm.
- Kiểm tra lại theo chiều quay.
Mẹo đánh dấu trực tiếp trên hình
Khi làm bài trên giấy, học sinh có thể:
- Khoanh nhẹ tam giác nhỏ đã đếm.
- Đánh số 1, 2, 3… vào từng tam giác.
- Dùng bút chì tô nhạt các tam giác cùng một nhóm.
- Đếm tam giác nhỏ bằng một màu, tam giác lớn bằng màu khác.
Không nên tô đậm quá vì sẽ che mất các đường hình.
Với hình có nhiều tam giác chồng lên nhau, học sinh có thể dùng cách đánh số:
Tam giác nhỏ: 1, 2, 3, 4…
Tam giác cỡ vừa: A, B, C…
Tam giác lớn: I, II, III…
Việc đánh dấu giúp con quan sát có hệ thống hơn.
Học sinh lớp nào nên luyện đếm hình tam giác?
Học sinh lớp 1 và lớp 2
Nên bắt đầu với:
- Nhận biết hình tam giác.
- Đếm các tam giác rời nhau.
- Tìm tam giác trong tranh.
- Phân biệt tam giác với hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn.
- Đếm hình đơn giản có ít đường kẻ.
Ví dụ:
Có 4 hình, trong đó 3 hình là tam giác và 1 hình là hình vuông. Hỏi có bao nhiêu hình tam giác?
Học sinh lớp 3
Có thể luyện:
- Tam giác lớn chia thành các tam giác nhỏ.
- Hình vuông có đường chéo.
- Tam giác ghép từ hai hoặc ba tam giác nhỏ.
- Đếm theo thứ tự nhỏ đến lớn.
- Nhận biết tam giác quay ngược.
Học sinh lớp 4 và lớp 5
Có thể làm các dạng khó hơn:
- Lưới tam giác nhiều tầng.
- Hình có tam giác chồng lên nhau.
- Đếm cả tam giác xuôi và ngược.
- Hình có nhiều đường chéo giao nhau.
- Bài yêu cầu giải thích cách đếm.
- So sánh hai cách đếm khác nhau.
Ở các lớp lớn hơn, mục tiêu không chỉ là tìm đúng số lượng. Học sinh cần biết tổ chức cách đếm và giải thích logic của mình.
Bài tự luyện
Bài 1:
Vẽ một tam giác đều lớn, nối trung điểm của ba cạnh để tạo thành 4 tam giác nhỏ.
Hỏi hình có tất cả bao nhiêu tam giác?
Bài 2:
Vẽ hình vuông ABCD, kẻ hai đường chéo AC và BD.
Hỏi hình có tất cả bao nhiêu tam giác?
Bài 3:
Một tam giác đều lớn được chia thành lưới có 3 tam giác nhỏ trên mỗi cạnh.
Hỏi hình có tất cả bao nhiêu tam giác, gồm cả tam giác hướng lên và hướng xuống?
Bài 4:
Một hình có 5 tam giác nhỏ hướng lên, 2 tam giác nhỏ hướng xuống và 3 tam giác lớn ghép từ các tam giác nhỏ.
Hỏi hình đó có tất cả bao nhiêu tam giác?
Bài 5:
Bạn Nam đếm được 9 tam giác trong một hình. Bạn Lan đếm được thêm 2 tam giác quay ngược mà Nam chưa tính.
Hỏi hình có bao nhiêu tam giác?
Đáp án
Bài 1:
Có 4 tam giác nhỏ và 1 tam giác lớn.
4 + 1 = 5 tam giác.
Bài 2:
Có 4 tam giác nhỏ và 4 tam giác lớn.
4 + 4 = 8 tam giác.
Bài 3:
Có 10 tam giác hướng lên và 3 tam giác hướng xuống.
10 + 3 = 13 tam giác.
Bài 4:
5 + 2 + 3 = 10 tam giác.
Bài 5:
9 + 2 = 11 tam giác.
Phụ huynh nên hỗ trợ con thế nào khi làm bài đếm hình?
Thay vì nói ngay:
“Đáp án là 13.”
“Con đếm thiếu tam giác lớn rồi.”
Phụ huynh có thể hỏi:
“Con đã đếm tam giác nhỏ chưa?”
“Có tam giác nào ghép từ hai hình nhỏ không?”
“Con đã tìm tam giác quay xuống chưa?”
“Con thử đếm từ nhỏ đến lớn nhé.”
“Con có thể đánh dấu những hình đã đếm không?”
“Con thử kiểm tra lại theo hướng khác xem.”
Những câu hỏi này giúp học sinh hình thành cách quan sát có hệ thống.
Theo ToanTuDuy.org, dạng bài đếm hình không nên đánh giá học sinh chỉ bằng con số cuối cùng. Một học sinh biết chia hình thành nhóm nhỏ, nhóm vừa, nhóm lớn và tự kiểm tra lại đang phát triển tư duy hình học tốt hơn nhiều so với việc đoán đúng đáp án.
Kết luận
Đếm hình tam giác sẽ không còn là dạng bài “nhìn rối mắt” khi học sinh có một quy trình rõ ràng:
- Quan sát toàn bộ hình.
- Đếm tam giác nhỏ nhất.
- Tìm tam giác ghép lớn hơn.
- Kiểm tra tam giác quay ngược.
- Đánh dấu và kiểm tra lại để không đếm trùng.
Khi luyện đều, học sinh sẽ dần biết nhìn hình theo cấu trúc thay vì chỉ quan sát cảm tính.
TheoToanTuDuy.org, Toán tư duy không chỉ là tìm ra đáp án. Điều quan trọng hơn là học sinh biết vì sao mình không bỏ sót hình nào, không đếm trùng hình nào và có thể trình bày cách suy nghĩ của mình một cách rõ ràng.
