Bài toán tuổi thường chỉ có vài dòng ngắn, nhưng lại khiến nhiều học sinh bối rối. Các em dễ nhầm giữa tuổi hiện nay, tuổi trong quá khứ và tuổi trong tương lai; hoặc thấy câu “gấp 3 lần”, “gấp 5 lần” rồi áp dụng ngay mà chưa xác định đúng thời điểm.
Ví dụ:
Bốn năm trước, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con.
Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 48 tuổi.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Muốn giải đúng, học sinh không nên tìm tuổi hiện nay ngay. Điều cần làm trước là đưa các dữ kiện về cùng một thời điểm.
Tại ToanTuDuy.org, bài toán tuổi được xem là một dạng Toán tư duy quan trọng vì các em cần quan sát mốc thời gian, giữ đúng hiệu số tuổi và biết dùng sơ đồ để biến câu chữ thành cách giải rõ ràng.
4 nguyên tắc quan trọng của bài toán tuổi
1. Hiệu số tuổi luôn không thay đổi
Dù là hiện nay, 5 năm trước hay 10 năm sau, khoảng cách tuổi giữa hai người vẫn giữ nguyên.
Ví dụ:
Mẹ hơn con 24 tuổi.
- Hiện nay mẹ hơn con 24 tuổi.
- 6 năm trước mẹ vẫn hơn con 24 tuổi.
- 8 năm nữa mẹ vẫn hơn con 24 tuổi.
Nhiều học sinh nhầm rằng sau vài năm, hiệu số tuổi sẽ lớn hơn. Thực tế, cả hai cùng tăng hoặc cùng giảm số năm như nhau nên khoảng cách tuổi không đổi.
2. Qua mỗi năm, mỗi người cùng tăng thêm 1 tuổi
Nếu bài nói “3 năm nữa”, mỗi người đều tăng 3 tuổi.
Nếu bài nói “4 năm trước”, mỗi người đều giảm 4 tuổi.
Ví dụ:
Hiện nay An 9 tuổi, chị của An 15 tuổi.
Sau 5 năm:
An: 9 + 5 = 14 tuổi
Chị: 15 + 5 = 20 tuổi
Không thể chỉ tăng tuổi của một người mà quên người còn lại.
3. Tổng số tuổi thay đổi theo số người
Nếu có hai người và 3 năm trôi qua thì tổng số tuổi tăng:
3 × 2 = 6 tuổi
Nếu có ba người và 5 năm trôi qua thì tổng số tuổi tăng:
5 × 3 = 15 tuổi
Đây là điểm rất quan trọng khi bài toán cho tổng số tuổi ở một thời điểm nhưng hỏi ở thời điểm khác.
4. “Gấp mấy lần” phải đi cùng đúng mốc thời gian
Câu:
6 năm trước, tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con
không có nghĩa hiện nay tuổi mẹ vẫn gấp 5 lần tuổi con.
Tỉ số tuổi sẽ thay đổi theo thời gian, nhưng hiệu số tuổi thì không đổi.
Đó là lý do các em cần đọc kỹ các cụm từ:
- Hiện nay
- Trước đây
- Mấy năm trước
- Mấy năm nữa
- Sau khi thêm bao nhiêu năm
- Lúc đó
5 bước giải bài toán tuổi tại ToanTuDuy.org
Bước 1: Xác định những người xuất hiện trong bài
Bài có thể nói về:
- Bố và con
- Mẹ và con
- Anh và em
- Ông, bố và cháu
- Hai hoặc ba bạn nhỏ
Hãy ghi rõ từng người để tránh nhầm dữ kiện.
Bước 2: Gạch chân các mốc thời gian
Ví dụ:
5 năm trước
Hiện nay
4 năm nữa
Các em có thể viết một dòng thời gian ngắn:
5 năm trước ─── Hiện nay ─── 4 năm nữa
Cách này giúp biết rõ khi nào cần cộng tuổi, khi nào cần trừ tuổi.
Bước 3: Đưa dữ kiện về cùng một thời điểm
Nếu bài cho tổng tuổi hiện nay nhưng tỉ số tuổi ở quá khứ, hãy tính tổng tuổi ở quá khứ trước.
Nếu bài cho tổng tuổi hiện nay nhưng tỉ số tuổi ở tương lai, hãy tính tổng tuổi ở tương lai trước.
Bước 4: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng khi có tỉ số
Ví dụ, nếu tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con:
Con: |────|
Mẹ: |────|────|────|
Sơ đồ giúp các em thấy ngay:
- Con có 1 phần
- Mẹ có 3 phần
- Hiệu số tuổi là 2 phần
Bước 5: Kiểm tra lại ở tất cả mốc thời gian
Sau khi có đáp án, hãy thay số vào đề bài:
- Ở hiện tại có đúng không?
- Quay lại quá khứ có đúng tỉ số không?
- Tính đến tương lai có đúng điều kiện không?
Đây là bước giúp học sinh tránh sai ở các bài nhiều dữ kiện.
Ví dụ 1: Biết hiệu và tỉ số tuổi hiện nay
Hiện nay tuổi anh gấp 3 lần tuổi em.
Anh hơn em 16 tuổi.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Ta vẽ sơ đồ:
Em: |────|
Anh: |────|────|────|
Anh hơn em:
3 phần – 1 phần = 2 phần
Hai phần bằng 16 tuổi nên một phần là:
16 : 2 = 8 tuổi
Vậy:
Em: 8 tuổi
Anh: 8 × 3 = 24 tuổi
Kiểm tra:
24 – 8 = 16
24 : 8 = 3
Điều cần nhớ
Khi biết hiệu và tỉ số, hãy lấy:
Hiệu : hiệu số phần
Sau đó tìm từng tuổi theo số phần tương ứng.
Ví dụ 2: Biết tỉ số tuổi trong quá khứ và tổng tuổi hiện nay
Bốn năm trước, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con.
Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 48 tuổi.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Trước hết, đưa tổng tuổi về 4 năm trước.
Trong 4 năm, mỗi người tăng 4 tuổi. Hai bố con tăng tổng cộng:
4 × 2 = 8 tuổi
Tổng số tuổi của hai bố con 4 năm trước là:
48 – 8 = 40 tuổi
Bốn năm trước, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con:
Con: |────|
Bố: |────|────|────|────|
Tổng số phần là:
1 + 4 = 5 phần
Một phần là:
40 : 5 = 8 tuổi
Bốn năm trước:
Con: 8 tuổi
Bố: 8 × 4 = 32 tuổi
Hiện nay:
Con: 8 + 4 = 12 tuổi
Bố: 32 + 4 = 36 tuổi
Đáp số:
Con 12 tuổi, bố 36 tuổi.
Kiểm tra:
12 + 36 = 48
Bốn năm trước: con 8 tuổi, bố 32 tuổi
32 : 8 = 4
Ví dụ 3: Biết tỉ số tuổi trong tương lai và tổng tuổi hiện nay
Hiện nay tổng số tuổi của mẹ và con là 50 tuổi.
Năm năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Sau 5 năm, cả mẹ và con cùng tăng tuổi.
Tổng số tuổi sau 5 năm là:
50 + 5 × 2 = 60 tuổi
Năm năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con:
Con: |────|
Mẹ: |────|────|
Tổng số phần là:
1 + 2 = 3 phần
Một phần là:
60 : 3 = 20 tuổi
Năm năm nữa:
Con: 20 tuổi
Mẹ: 40 tuổi
Hiện nay:
Con: 20 – 5 = 15 tuổi
Mẹ: 40 – 5 = 35 tuổi
Đáp số: Con 15 tuổi, mẹ 35 tuổi.
Điều cần nhớ
Khi đề bài cho tỉ số ở tương lai:
- Tìm tổng tuổi ở tương lai.
- Chia theo tỉ số ở tương lai.
- Trừ số năm để quay về hiện tại.
Ví dụ 4: Bài toán tuổi nâng cao có hai tỉ số khác nhau
Sáu năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con.
Sáu năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Đây là bài khó hơn vì có hai tỉ số ở hai thời điểm khác nhau.
Sáu năm trước:
Con: |────|
Mẹ: |────|────|────|────|
Khi đó, hiệu số tuổi của mẹ và con là:
4 phần – 1 phần = 3 phần
Hiệu số tuổi luôn không đổi.
Từ sáu năm trước đến sáu năm nữa là:
6 + 6 = 12 năm
Sáu năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con:
Con: |────|
Mẹ: |────|────|
Lúc này, hiệu số tuổi bằng đúng 1 phần tuổi con.
Vì hiệu số tuổi không đổi, nên tuổi con sáu năm nữa bằng 3 phần ở sơ đồ ban đầu.
Con tăng 12 tuổi từ sáu năm trước đến sáu năm nữa.
Vậy:
3 phần – 1 phần = 12 tuổi
Hai phần là 12 tuổi, nên một phần là:
12 : 2 = 6 tuổi
Sáu năm trước:
Con: 6 tuổi
Mẹ: 6 × 4 = 24 tuổi
Hiện nay:
Con: 6 + 6 = 12 tuổi
Mẹ: 24 + 6 = 30 tuổi
Kiểm tra sáu năm nữa:
Con: 18 tuổi
Mẹ: 36 tuổi
36 : 18 = 2
Đáp số: Con 12 tuổi, mẹ 30 tuổi.
Vì sao bài này cần tư duy?
Các em không thể chỉ dùng một phép cộng hoặc trừ. Cần kết hợp:
- Tỉ số tuổi ở quá khứ
- Tỉ số tuổi ở tương lai
- Hiệu số tuổi không đổi
- Khoảng thời gian 12 năm
Đây là dạng bài rất tốt để rèn khả năng quan sát cấu trúc của đề bài.
Ví dụ 5: Bài toán tuổi có ba người
Hiện nay tổng số tuổi của ông, bố và cháu là 93 tuổi.
Tuổi bố gấp 3 lần tuổi cháu.
Tuổi ông hơn tuổi bố 30 tuổi.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Ta biểu diễn tuổi cháu là 1 phần.
Cháu: |────|
Bố: |────|────|────|
Ông: |────|────|────| + 30
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 3 + 3 = 7 phần
Ngoài ra còn có 30 tuổi của ông nhiều hơn bố.
Bảy phần bằng nhau là:
93 – 30 = 63 tuổi
Một phần là:
63 : 7 = 9 tuổi
Vậy:
Cháu: 9 tuổi
Bố: 9 × 3 = 27 tuổi
Ông: 27 + 30 = 57 tuổi
Kiểm tra: 9 + 27 + 57 = 93
Dạng bài này cho thấy bài toán tuổi có thể kết hợp với dạng tổng và tỉ số.
Những lỗi học sinh thường gặp với bài toán tuổi
Nhầm hiệu số tuổi sẽ thay đổi
Ví dụ, mẹ hơn con 25 tuổi thì 10 năm nữa mẹ vẫn hơn con 25 tuổi, không phải 35 tuổi.
Chỉ cộng hoặc trừ tuổi của một người
Sau 4 năm, tất cả những người trong bài đều tăng 4 tuổi.
Quên điều chỉnh tổng số tuổi
Nếu có hai người cùng tăng 3 tuổi, tổng tăng 6 tuổi.
Nếu có ba người cùng tăng 2 tuổi, tổng tăng 6 tuổi.
Dùng tỉ số của quá khứ cho hiện tại
Tỉ số tuổi thay đổi theo thời gian. Chỉ hiệu số tuổi là giữ nguyên.
Không kiểm tra lại các mốc thời gian
Với bài toán tuổi, một đáp án đúng phải thỏa mãn đầy đủ điều kiện ở quá khứ, hiện tại và tương lai.
Bài tập tự luyện tại ToanTuDuy.org
Bài 1: Hiện nay tuổi anh gấp 4 lần tuổi em. Anh hơn em 18 tuổi. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài 2: Ba năm trước, tuổi bố gấp 5 lần tuổi con. Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 66 tuổi. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài 3: Hiện nay tổng số tuổi của mẹ và con là 54 tuổi. Ba năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài 4: Sáu năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Sáu năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Đáp án gợi ý
Bài 1:
Hiệu số phần là:
4 – 1 = 3 phần
Một phần là:
18 : 3 = 6 tuổi
Em 6 tuổi, anh:
6 × 4 = 24 tuổi
Bài 2:
Ba năm trước, tổng số tuổi là:
66 – 3 × 2 = 60 tuổi
Tổng số phần là:
5 + 1 = 6 phần
Con 10 tuổi cách đây 3 năm, bố 50 tuổi cách đây 3 năm.
Hiện nay:
Con 13 tuổi
Bố 53 tuổi
Bài 3:
Ba năm nữa, tổng số tuổi là:
54 + 3 × 2 = 60 tuổi
Tổng số phần là:
2 + 1 = 3 phần
Ba năm nữa:
Con 20 tuổi
Mẹ 40 tuổi
Hiện nay:
Con 17 tuổi
Mẹ 37 tuổi
Bài 4:
Hiện nay:
Con 12 tuổi
Mẹ 30 tuổi
Kết luận
Bài toán tuổi không khó khi các em hiểu đúng ba điều: hiệu số tuổi không đổi, mọi người cùng tăng hoặc giảm tuổi theo thời gian, và tỉ số chỉ đúng tại mốc thời gian được nêu trong đề bài.
Tại ToanTuDuy.org, các em nên tập vẽ sơ đồ và ghi mốc thời gian trước khi tính. Khi đã có thói quen này, những bài toán tuổi nhiều dữ kiện sẽ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều.
