Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số là một dạng Toán quan trọng ở tiểu học. Điểm khó của dạng bài này không nằm ở phép chia hay phép nhân, mà ở việc đọc đề để hiểu: hai số đang được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Ví dụ:
Tổng số sách của hai tủ là 168 quyển.
Số sách ở tủ thứ nhất bằng 3/4 số sách ở tủ thứ hai.
Hỏi mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách?
Nhiều bạn nhìn thấy 168, 3 và 4 nhưng chưa biết dùng phép tính nào trước. Khi vẽ sơ đồ đoạn thẳng, bài toán sẽ trở nên rõ ràng:
- Tủ thứ nhất gồm 3 phần bằng nhau.
- Tủ thứ hai gồm 4 phần bằng nhau.
- Cả hai tủ gồm 7 phần bằng nhau.
Tại ToanTuDuy.org, các bài toán tổng và tỉ số không chỉ giúp học sinh tìm được đáp án. Quan trọng hơn, các em học được cách biến dữ kiện bằng chữ thành sơ đồ trực quan, từ đó suy luận từng bước.
Bài toán tổng và tỉ số là gì?
Bài toán tổng và tỉ số thường cho biết:
- Tổng của hai hoặc nhiều số.
- Tỉ số giữa các số đó.
Ví dụ:
Hai bạn có tất cả 72 viên bi.
Số bi của An và Bình có tỉ số là 4 : 5.
Điều này không có nghĩa An hơn Bình 4 viên hay 5 viên.
Tỉ số 4 : 5 nghĩa là:
- Nếu số bi của An được chia thành 4 phần bằng nhau,
- thì số bi của Bình được chia thành 5 phần bằng nhau.
Tổng số phần là:
4 + 5 = 9 phần
Vì tổng là 72 viên bi nên mỗi phần là:
72 : 9 = 8 viên bi
Số bi của mỗi bạn là:
An có: 8 × 4 = 32 viên bi
Bình có: 8 × 5 = 40 viên bi
Kiểm tra:
32 + 40 = 72
32 : 40 = 4 : 5
Phân biệt bài toán tổng và tỉ số với tổng và hiệu
Hai dạng này rất dễ bị nhầm.
Bài toán tổng và hiệu
Ví dụ:
Tổng hai số là 72. Hiệu hai số là 8.
Ở dạng này, ta biết số lớn hơn số bé bao nhiêu đơn vị.
Bài toán tổng và tỉ số
Ví dụ:
Tổng hai số là 72. Tỉ số của hai số là 4 : 5.
Ở dạng này, ta biết số thứ nhất gồm 4 phần, số thứ hai gồm 5 phần bằng nhau.
Một bên là phần chênh lệch, một bên là số phần bằng nhau. Vì vậy, cách vẽ sơ đồ và cách giải cũng khác nhau.
4 bước giải bài toán tổng và tỉ số
Bước 1: Xác định tổng và tỉ số
Khi đọc đề, các em cần gạch chân hai dữ kiện quan trọng:
- Tổng là bao nhiêu?
- Tỉ số là bao nhiêu phần so với bao nhiêu phần?
Ví dụ:
Tổng số cây của hai đội là 270 cây.
Số cây của đội A bằng 4/5 số cây của đội B.
Ta xác định:
- Tổng là 270 cây.
- Đội A gồm 4 phần.
- Đội B gồm 5 phần.
Bước 2: Vẽ sơ đồ các phần bằng nhau
Sơ đồ nên thể hiện đúng số phần của từng đại lượng:
Đội A: |────|────|────|────|
Đội B: |────|────|────|────|────|
Không cần vẽ quá đẹp. Điều quan trọng là các phần phải bằng nhau để nhìn rõ tỉ số 4 : 5.
Bước 3: Tìm tổng số phần và giá trị một phần
Tổng số phần là:
4 + 5 = 9 phần
Vì 9 phần bằng 270 cây nên một phần là:
270 : 9 = 30 cây
Bước 4: Tìm từng số và kiểm tra lại
Đội A có:
30 × 4 = 120 cây
Đội B có:
30 × 5 = 150 cây
Kiểm tra:
120 + 150 = 270
120 : 150 = 4 : 5
Vậy đáp án chính xác.
Ví dụ 1: Bài toán tổng và tỉ số cơ bản
Hai tủ sách có tất cả 168 quyển sách.
Số sách ở tủ thứ nhất bằng 3/4 số sách ở tủ thứ hai.
Hỏi mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách?
Ta vẽ sơ đồ:
Tủ thứ nhất: |────|────|────|
Tủ thứ hai: |────|────|────|────|
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 phần
Một phần là:
168 : 7 = 24 quyển sách
Tủ thứ nhất có:
24 × 3 = 72 quyển sách
Tủ thứ hai có:
24 × 4 = 96 quyển sách
Đáp số:
Tủ thứ nhất: 72 quyển sách
Tủ thứ hai: 96 quyển sách
Điều cần nhớ
Khi gặp cụm từ:
“A bằng 3/4 B”
các em có thể hiểu:
A gồm 3 phần, B gồm 4 phần bằng nhau.
Ví dụ 2: Bài toán ba số biết tổng và tỉ số
Ba bạn An, Bình và Chi có tất cả 216 thẻ học tập.
Số thẻ của An, Bình và Chi tỉ lệ với 2 : 3 : 4.
Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu thẻ?
Ta biểu diễn:
An: |────|────|
Bình: |────|────|────|
Chi: |────|────|────|────|
Tổng số phần là:
2 + 3 + 4 = 9 phần
Một phần là:
216 : 9 = 24 thẻ
Số thẻ của từng bạn là:
An có: 24 × 2 = 48 thẻ
Bình có: 24 × 3 = 72 thẻ
Chi có: 24 × 4 = 96 thẻ
Kiểm tra:
48 + 72 + 96 = 216
Dạng bài này cho thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ dùng cho hai số. Khi có ba hoặc bốn đại lượng, sơ đồ càng giúp học sinh tránh nhầm lẫn.
Ví dụ 3: Tỉ số xuất hiện sau khi thêm vào
Đây là dạng bài nâng cao hơn vì tỉ số không phải của số ban đầu.
Hai thùng có tất cả 188 lít dầu.
Nếu đổ thêm 12 lít dầu vào thùng thứ nhất thì số dầu ở thùng thứ nhất bằng 3/2 số dầu ở thùng thứ hai.
Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?
Điểm cần chú ý: sau khi đổ thêm 12 lít, tổng số dầu không còn là 188 lít nữa.
Tổng mới là:
188 + 12 = 200 lít
Sau khi thêm dầu, ta có tỉ số:
Thùng thứ nhất : thùng thứ hai = 3 : 2
Ta vẽ sơ đồ sau khi thêm:
Thùng thứ nhất: |────|────|────|
Thùng thứ hai: |────|────|
Tổng số phần là:
3 + 2 = 5 phần
Một phần là:
200 : 5 = 40 lít
Sau khi thêm dầu:
Thùng thứ nhất có: 40 × 3 = 120 lít
Thùng thứ hai có: 40 × 2 = 80 lít
Lúc đầu thùng thứ nhất có:
120 – 12 = 108 lít
Đáp số:
Thùng thứ nhất: 108 lít dầu
Thùng thứ hai: 80 lít dầu
Kiểm tra:
108 + 80 = 188
108 + 12 = 120
120 : 80 = 3 : 2
Điều cần rút ra
Khi đề bài có các từ như:
- Thêm vào
- Bớt đi
- Chuyển sang
- Sau khi cho
- Sau khi nhận
các em cần xác định tỉ số đang nói đến trước hay sau khi thay đổi.
Ví dụ 4: Tỉ số sau khi chuyển từ số này sang số khác
Hai kho có tất cả 420 thùng hàng.
Nếu chuyển 30 thùng từ kho A sang kho B thì số hàng ở kho A bằng 4/3 số hàng ở kho B.
Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu thùng hàng?
Khi chuyển 30 thùng từ kho A sang kho B, tổng số hàng vẫn không đổi:
420 thùng
Sau khi chuyển, tỉ số là:
Kho A : Kho B = 4 : 3
Ta vẽ sơ đồ sau khi chuyển:
Kho A: |────|────|────|────|
Kho B: |────|────|────|
Tổng số phần là:
4 + 3 = 7 phần
Một phần là:
420 : 7 = 60 thùng
Sau khi chuyển:
Kho A có: 60 × 4 = 240 thùng
Kho B có: 60 × 3 = 180 thùng
Vì kho A đã chuyển đi 30 thùng nên lúc đầu kho A có:
240 + 30 = 270 thùng
Kho B lúc đầu có:
180 – 30 = 150 thùng
Đáp số:
Kho A: 270 thùng
Kho B: 150 thùng
Kiểm tra:
270 + 150 = 420
Sau khi chuyển 30 thùng:
Kho A còn 240 thùng, kho B có 180 thùng
240 : 180 = 4 : 3
Những lỗi học sinh thường gặp
Nhầm tỉ số với hiệu số
Tỉ số 3 : 5 không có nghĩa số thứ hai hơn số thứ nhất 2 đơn vị.
Tỉ số 3 : 5 nghĩa là số thứ nhất có 3 phần, số thứ hai có 5 phần bằng nhau.
Cộng hoặc trừ nhầm tổng số phần
Với tỉ số 3 : 4, tổng số phần là:
3 + 4 = 7 phần
Không phải:
4 – 3 = 1 phần
Phép trừ chỉ cho biết số thứ hai hơn số thứ nhất bao nhiêu phần.
Vẽ các phần không bằng nhau
Khi sơ đồ có các phần khác nhau về độ dài, học sinh dễ hiểu sai tỉ số. Hãy vẽ mỗi phần gần bằng nhau để dễ quan sát.
Quên thay đổi tổng sau khi thêm hoặc bớt
Ví dụ, tổng ban đầu là 188. Nếu thêm 12 vào một đại lượng thì tổng mới là:
188 + 12 = 200
Nếu chuyển từ A sang B thì tổng không đổi, chỉ từng phần thay đổi.
Có đáp án nhưng không kiểm tra lại tỉ số
Một đáp án chỉ đúng khi thỏa mãn cả tổng và tỉ số trong đề bài. Vì vậy, sau khi làm xong, các em cần kiểm tra lại cả hai điều kiện.
Mẹo ghi nhớ tại ToanTuDuy.org
Với bài toán tổng và tỉ số, các em chỉ cần ghi nhớ:
Biết tổng → cộng số phần
Biết một phần → lấy tổng chia số phần
Muốn tìm từng số → lấy một phần nhân số phần của số đó
Có thể viết ngắn gọn:
Tổng số phần = tổng các số trong tỉ số
Một phần = tổng : tổng số phần
Số cần tìm = một phần × số phần tương ứng
Tuy nhiên, hãy hiểu sơ đồ trước rồi mới ghi nhớ cách làm. Khi hiểu được các phần bằng nhau, học sinh sẽ áp dụng được cả với bài toán có thêm, bớt hoặc chuyển đổi.
Bài tập tự luyện tại ToanTuDuy.org
Bài 1: Hai lớp 4A và 4B quyên góp được tất cả 315 quyển vở. Số vở của lớp 4A và lớp 4B tỉ lệ với 4 : 5. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển vở?
Bài 2: Ba đội trồng được tất cả 360 cây xanh. Số cây của ba đội tỉ lệ với 2 : 3 : 4. Hỏi mỗi đội trồng được bao nhiêu cây?
Bài 3: Hai giỏ có tất cả 284 quả cam. Nếu thêm 16 quả cam vào giỏ thứ nhất thì số cam ở giỏ thứ nhất bằng 3/2 số cam ở giỏ thứ hai. Hỏi lúc đầu mỗi giỏ có bao nhiêu quả cam?
Bài 4: Hai kho có tất cả 560 bao gạo. Nếu chuyển 40 bao gạo từ kho thứ nhất sang kho thứ hai thì số gạo ở kho thứ nhất bằng 4/3 số gạo ở kho thứ hai. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu bao gạo?
Đáp án gợi ý
Bài 1:
Tổng số phần là:
4 + 5 = 9 phần
Một phần là:
315 : 9 = 35
Lớp 4A quyên góp:
35 × 4 = 140 quyển vở
Lớp 4B quyên góp:
35 × 5 = 175 quyển vở
Bài 2:
Tổng số phần là:
2 + 3 + 4 = 9 phần
Một phần là:
360 : 9 = 40
Ba đội trồng lần lượt:
80 cây, 120 cây và 160 cây
Bài 3:
Sau khi thêm 16 quả, tổng số cam là:
284 + 16 = 300 quả
Tổng số phần là:
3 + 2 = 5 phần
Một phần là:
300 : 5 = 60 quả
Sau khi thêm:
Giỏ thứ nhất có 180 quả
Giỏ thứ hai có 120 quả
Lúc đầu:
Giỏ thứ nhất có 180 – 16 = 164 quả
Giỏ thứ hai có 120 quả
Bài 4:
Sau khi chuyển, tổng số gạo vẫn là: 560 bao
Tổng số phần là:
4 + 3 = 7 phần
Một phần là:
560 : 7 = 80 bao
Sau khi chuyển:
Kho thứ nhất có 320 bao
Kho thứ hai có 240 bao
Lúc đầu:
Kho thứ nhất có 320 + 40 = 360 bao
Kho thứ hai có 240 – 40 = 200 bao
Kết luận
Bài toán tổng và tỉ số giúp học sinh rèn một kỹ năng rất quan trọng: nhìn thấy mối quan hệ giữa các số thay vì chỉ nhìn từng số riêng lẻ.
Khi đã quen với sơ đồ đoạn thẳng, các em sẽ không còn cảm thấy bài toán nhiều dữ kiện là quá khó. Hãy bắt đầu bằng bài có hai số, sau đó nâng dần lên bài có ba số, bài có thêm bớt hoặc bài chuyển đổi.
Tại ToanTuDuy.org, mỗi bài toán không chỉ hướng đến đáp án đúng mà còn giúp học sinh hiểu vì sao phải làm như vậy. Khi hiểu cấu trúc bài toán, các em sẽ tự tin hơn trước những dạng Toán mới.
