Dãy số là dạng bài khá quen thuộc trong Toán tư duy tiểu học. Nhưng nhiều học sinh khi nhìn thấy:
2, 6, 12, 20, 30, □
lại thử đoán ngay một số bất kỳ, chẳng hạn 36 hoặc 40, mà chưa quan sát xem các số thay đổi theo quy luật nào.
Một số em thấy dãy số tăng thì kết luận ngay “cộng thêm”. Nhưng cộng thêm bao nhiêu? Có phải lần nào cũng cộng cùng một số không? Có dãy số lại xen kẽ hai quy luật khác nhau, hoặc thay đổi theo từng nhóm.
Muốn làm tốt dạng này, học sinh không cần học mẹo phức tạp. Điều quan trọng là biết nhìn từng bước thay đổi, ghi lại điều mình phát hiện và kiểm tra xem quy luật đó có đúng với toàn bộ dãy hay không.
Tại ToanTuDuy.org, bài quy luật dãy số không nên chỉ là thay vài con số rồi yêu cầu học sinh điền đáp án. Mỗi dạng cần giúp con rèn một cách quan sát khác nhau: cộng trừ đều, tăng giảm không đều, nhân chia, xen kẽ hai nhóm hoặc tìm số còn thiếu ở giữa dãy.
Bài toán tìm quy luật dãy số là gì?
Dãy số là các số được sắp xếp theo một trật tự nhất định.
Ví dụ: 3, 6, 9, 12, 15, □
Các số tăng thêm 3 đơn vị mỗi lần:
3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12
Vậy số tiếp theo là:
15 + 3 = 18
Tuy nhiên, không phải dãy nào cũng đơn giản như vậy.
Ví dụ: 2, 6, 12, 20, 30, □
Ta tính phần tăng thêm giữa hai số liên tiếp:
6 – 2 = 4
12 – 6 = 6
20 – 12 = 8
30 – 20 = 10
Các số lần lượt tăng thêm:
4, 6, 8, 10
Vậy bước tiếp theo cần tăng thêm 12:
30 + 12 = 42
Số cần điền là: 42
Vì sao học sinh thường làm sai dạng quy luật dãy số?
Chỉ nhìn số đầu và số cuối
Ví dụ: 4, 7, 10, 13, 16
Có học sinh thấy từ 4 đến 16 tăng 12 nên cho rằng mỗi bước tăng 12.
Điều đó không đúng, vì dãy có nhiều bước ở giữa. Cần quan sát từng lần thay đổi:
4 → 7: tăng 3
7 → 10: tăng 3
10 → 13: tăng 3
Quy luật đúng là mỗi lần tăng 3.
Đoán đáp án mà không kiểm tra lại
Ví dụ: 50, 47, 43, 38, □
Một học sinh có thể thấy dãy đang giảm rồi đoán số tiếp theo là 34.
Nhưng cần tính:
50 – 47 = 3
47 – 43 = 4
43 – 38 = 5
Dãy lần lượt giảm 3, giảm 4, giảm 5.
Vậy số tiếp theo phải giảm 6:
38 – 6 = 32
Đáp án đúng là 32.
Không nhận ra dãy xen kẽ
Ví dụ: 2, 4, 3, 6, 4, 8, □
Nếu nhìn tất cả số liên tiếp, dãy có vẻ khó hiểu.
Nhưng tách các số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn:
- Vị trí lẻ: 2, 3, 4, □
- Vị trí chẵn: 4, 6, 8
Dãy ở vị trí lẻ tăng dần: 2, 3, 4, 5
Vậy số cần điền là: 5
Lưu ý quan trọng: không phải mọi dãy số đều có một quy luật duy nhất
Về mặt Toán học, chỉ với một vài số cho sẵn, có thể tạo ra nhiều quy luật khác nhau.
Nhưng trong bài tập tiểu học, đề bài thường hướng đến quy luật đơn giản, hợp lý và áp dụng đúng cho tất cả số đã cho.
Vì vậy, học sinh không nên chọn một cách giải thích chỉ đúng cho hai số đầu. Quy luật cần:
- Phù hợp từ đầu đến cuối dãy.
- Có bước thay đổi rõ ràng.
- Không cần thêm giả thiết phức tạp.
- Giúp tìm được số còn thiếu một cách hợp lý.
5 bước tìm quy luật dãy số không đoán mò
Bước 1: Xem dãy đang tăng, giảm hay xen kẽ
Đầu tiên, học sinh cần nhìn tổng quát:
- Các số sau lớn hơn hay nhỏ hơn số trước?
- Có tăng đều không?
- Có giảm đều không?
- Có số nào lặp lại theo nhóm không?
- Có thể tách thành hai dãy nhỏ không?
Ví dụ: 12, 16, 20, 24, □
Dãy đang tăng.
Ví dụ khác: 81, 72, 63, 54, □
Dãy đang giảm.
Ví dụ: 1, 10, 2, 20, 3, 30, □
Dãy có vẻ không tăng hay giảm liên tục. Có thể tách thành:
- 1, 2, 3, □
- 10, 20, 30
Số cần điền là 4.
Bước 2: Tính phần chênh lệch giữa các số liên tiếp
Đây là cách đơn giản và hiệu quả nhất với nhiều dãy số.
Ví dụ: 5, 9, 13, 17, □
Ta có:
9 – 5 = 4
13 – 9 = 4
17 – 13 = 4
Mỗi lần tăng 4.
Vậy: 17 + 4 = 21
Ví dụ nâng cao hơn: 3, 8, 15, 24, □
Ta tính:
8 – 3 = 5
15 – 8 = 7
24 – 15 = 9
Phần tăng thêm là: 5, 7, 9
Đây là các số lẻ liên tiếp. Bước tiếp theo tăng 11.
Vậy: 24 + 11 = 35
Số cần điền là 35.
Học sinh nên viết phần chênh lệch ra nháp, thay vì chỉ quan sát bằng mắt. Khi đã nhìn thấy các số tăng thêm, quy luật thường rõ ràng hơn.
Bước 3: Kiểm tra xem có nhân, chia hoặc kết hợp phép tính không
Không phải dãy nào cũng là cộng hoặc trừ.
Ví dụ: 2, 4, 8, 16, □
Ta có:
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
8 × 2 = 16
Mỗi lần nhân 2.
Vậy: 16 × 2 = 32
Ví dụ khác:
81, 27, 9, 3, □
Ta có:
81 : 3 = 27
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3
Vậy số tiếp theo là:
3 : 3 = 1
Một số dãy kết hợp nhiều phép tính.
Ví dụ:
1, 3, 7, 15, □
Ta có:
1 × 2 + 1 = 3
3 × 2 + 1 = 7
7 × 2 + 1 = 15
Vậy:
15 × 2 + 1 = 31
Dạng này phù hợp hơn với học sinh lớp 4 hoặc lớp 5 đã quen quan sát cấu trúc phép tính.
Bước 4: Tách dãy thành từng nhóm khi thấy quy luật không liên tục
Có nhiều dãy số được tạo bởi hai quy luật xen kẽ.
Ví dụ:
3, 6, 5, 10, 7, 14, □
Tách các số ở vị trí lẻ:
3, 5, 7, □
Mỗi lần tăng 2.
Tách các số ở vị trí chẵn:
6, 10, 14
Mỗi lần tăng 4.
Vậy số ở vị trí lẻ tiếp theo là:
7 + 2 = 9
Số cần điền là 9.
Ví dụ khác:
20, 3, 18, 6, 16, 9, □
Tách thành:
- Vị trí lẻ: 20, 18, 16, □
- Vị trí chẵn: 3, 6, 9
Dãy vị trí lẻ giảm 2:
20, 18, 16, 14
Vậy số cần điền là 14.
Khi gặp dãy có số tăng, giảm thất thường, học sinh nên thử câu hỏi:
“Có phải các số ở vị trí lẻ tạo thành một dãy riêng không?”
“Các số ở vị trí chẵn có đang theo một quy luật khác không?”
Bước 5: Thử lại toàn bộ dãy trước khi điền đáp án
Sau khi tìm được quy luật, học sinh cần kiểm tra xem quy luật đó có đúng với tất cả bước hay không.
Ví dụ: 2, 6, 12, 20, 30, □
Quy luật dự đoán là lần lượt cộng:
4, 6, 8, 10, 12
Kiểm tra:
2 + 4 = 6
6 + 6 = 12
12 + 8 = 20
20 + 10 = 30
30 + 12 = 42
Đúng với toàn bộ dãy.
Vậy số cần điền là: 42
Bước kiểm tra giúp học sinh tránh trường hợp nhìn thấy một quy luật có vẻ hợp lý ở đầu dãy, nhưng lại không đúng với các số phía sau.
Tại ToanTuDuy.org, học sinh nên được khuyến khích nói ra quy luật bằng lời trước khi điền đáp án. Chẳng hạn:
“Dãy này mỗi lần tăng thêm một số chẵn lớn hơn số trước 2 đơn vị.”
Khi diễn đạt được bằng lời, học sinh thường hiểu sâu hơn và ít đoán mò hơn.
Các dạng quy luật dãy số thường gặp ở tiểu học
1. Tăng hoặc giảm đều
Ví dụ: 7, 12, 17, 22, □
Mỗi lần tăng 5.
Đáp án: 27
Ví dụ: 100, 90, 80, 70, □
Mỗi lần giảm 10.
Đáp án: 60
Dạng này phù hợp với học sinh lớp 1, lớp 2 và lớp 3.
2. Tăng hoặc giảm không đều theo thứ tự
Ví dụ: 10, 12, 15, 19, □
Ta có:
10 + 2 = 12
12 + 3 = 15
15 + 4 = 19
Bước tiếp theo cộng 5:
19 + 5 = 24
Ví dụ: 60, 55, 49, 42, □
Ta có:
60 – 5 = 55
55 – 6 = 49
49 – 7 = 42
Bước tiếp theo trừ 8:
42 – 8 = 34
Dạng này phù hợp hơn với lớp 3 đến lớp 5.
3. Nhân hoặc chia liên tiếp
Ví dụ: 3, 6, 12, 24, □
Mỗi lần nhân 2.
Đáp án: 48
Ví dụ: 256, 128, 64, 32, □
Mỗi lần chia 2.
Đáp án: 16
Học sinh cần chú ý: nếu các số tăng rất nhanh hoặc giảm rất nhanh, nên thử nhân hoặc chia trước khi nghĩ đến cộng trừ.
4. Xen kẽ hai quy luật
Ví dụ: 1, 20, 2, 40, 3, 60, □
Tách thành:
- Dãy vị trí lẻ: 1, 2, 3, 4
- Dãy vị trí chẵn: 20, 40, 60
Đáp án: 4
Ví dụ: 5, 50, 10, 45, 15, 40, □
Tách thành:
- Vị trí lẻ: 5, 10, 15, 20
- Vị trí chẵn: 50, 45, 40
Đáp án: 20
5. Quy luật theo hình ảnh, màu sắc hoặc số lượng
Dạng này thường gặp ở học sinh nhỏ tuổi.
Ví dụ, một dãy hình có thứ tự:
Hình tròn – hình vuông – hình tam giác – hình tròn – hình vuông – □
Quy luật lặp lại theo nhóm 3 hình.
Vậy hình còn thiếu là:
Hình tam giác
Hoặc một dãy số lượng:
1 ngôi sao, 2 ngôi sao, 3 ngôi sao, □
Số hình tăng thêm 1 mỗi lần.
Với dạng hình ảnh, học sinh nên quan sát đồng thời:
- Hình dạng.
- Màu sắc.
- Hướng quay.
- Số lượng.
- Vị trí.
Không nên chỉ nhìn một đặc điểm.
Ví dụ từ cơ bản đến nâng cao
Ví dụ 1: Cộng đều
8, 12, 16, 20, □
Ta có:
12 – 8 = 4
16 – 12 = 4
20 – 16 = 4
Vậy số cần điền là:
20 + 4 = 24
Ví dụ 2: Tăng thêm các số liên tiếp
2, 5, 9, 14, 20, □
Ta có:
5 – 2 = 3
9 – 5 = 4
14 – 9 = 5
20 – 14 = 6
Bước tiếp theo tăng 7:
20 + 7 = 27
Đáp số: 27.
Ví dụ 3: Tìm số còn thiếu ở giữa dãy
5, 9, □, 17, 21
Ta nhận thấy dãy tăng đều 4 đơn vị.
Vậy số cần điền là:
9 + 4 = 13
Kiểm tra:
13 + 4 = 17
Đáp số: 13.
Ví dụ 4: Dãy nhân liên tiếp
4, 12, 36, 108, □
Ta có:
4 × 3 = 12
12 × 3 = 36
36 × 3 = 108
Vậy:
108 × 3 = 324
Đáp số: 324.
Ví dụ 5: Dãy xen kẽ
4, 30, 6, 25, 8, 20, □
Tách thành:
- Vị trí lẻ: 4, 6, 8, □
- Vị trí chẵn: 30, 25, 20
Dãy vị trí lẻ tăng 2.
Vậy số cần điền là: 10
Ví dụ 6: Dãy tăng theo phần chênh lệch chẵn
2, 6, 12, 20, 30, □
Ta có:
2 + 4 = 6
6 + 6 = 12
12 + 8 = 20
20 + 10 = 30
Bước tiếp theo cộng 12:
30 + 12 = 42
Đáp số: 42.
Những lỗi học sinh thường gặp
Chỉ thử cộng hoặc trừ cùng một số
Ví dụ:
3, 8, 15, 24, □
Có em thử:
3 + 5 = 8
8 + 5 = 13
Thấy không đúng rồi dừng lại.
Thực tế, phần tăng thêm là:
5, 7, 9
Cần quan sát phần chênh lệch đang tăng thêm 2 đơn vị mỗi lần.
Không kiểm tra vị trí lẻ và vị trí chẵn
Ví dụ:
1, 10, 2, 20, 3, 30, □
Nếu nhìn liên tiếp sẽ thấy rất khó.
Nhưng khi tách vị trí lẻ và chẵn, quy luật trở nên rõ ràng.
Chọn quy luật quá phức tạp
Nếu dãy là:
4, 7, 10, 13, □
Quy luật đơn giản nhất là cộng 3.
Không cần tạo ra một cách giải thích phức tạp chỉ để làm bài trở nên khó hơn.
Trong bài tập tiểu học, học sinh nên ưu tiên quy luật:
- Rõ ràng.
- Ngắn gọn.
- Áp dụng được cho cả dãy.
- Phù hợp với kiến thức đang học.
Chỉ ghi đáp án mà không nêu quy luật
Ví dụ: 2, 6, 12, 20, 30, 42
Nếu chỉ viết 42, người đọc chưa biết học sinh tìm ra bằng cách nào.
Cách tốt hơn là ghi:
Các số lần lượt tăng thêm 4, 6, 8, 10, 12.
Vậy số cần điền là 42.
Điều này giúp học sinh rèn cách trình bày có lý do, không chỉ đưa ra kết quả.
Luyện quy luật dãy số theo từng khối lớp
Học sinh lớp 1 và lớp 2
Nên bắt đầu từ:
- Tăng hoặc giảm 1, 2, 5, 10.
- Dãy số đếm.
- Số liền trước, số liền sau.
- Quy luật hình ảnh đơn giản.
- Dãy lặp lại 2 hoặc 3 hình.
Ví dụ:
10, 11, 12, □, 14
Đáp án: 13.
Học sinh lớp 3
Có thể luyện thêm:
- Tăng giảm không đều.
- Dãy nhân chia đơn giản.
- Dãy số chẵn, số lẻ.
- Dãy xen kẽ hai quy luật.
- Tìm số bị thiếu ở giữa.
Ví dụ:
4, 8, 12, 16, □
Đáp án: 20.
Học sinh lớp 4 và lớp 5
Có thể làm quen với:
- Phần tăng thêm cũng có quy luật.
- Nhân rồi cộng hoặc nhân rồi trừ.
- Dãy có hai nhóm xen kẽ.
- Dãy số gắn với hình vuông, hình chữ nhật hoặc số lượng hình.
- Tự tạo dãy số và giải thích quy luật.
Ví dụ:
1, 3, 7, 15, □
Đáp án: 31 vì mỗi lần nhân 2 rồi cộng 1.
Bài tự tìm quy luật dãy số cho học sinh tiểu học luyện
Bài 1: 12, 16, 20, □, 28
Bài 2: 3, 8, 15, 24, □, 48
Bài 3: 50, 47, 43, 38, □
Bài 4: 2, 4, 3, 6, 4, 8, □
Bài 5: 1, 3, 7, 15, □
Bài 6: 2, 6, 12, 20, 30, □
Đáp án
Bài 1:
Mỗi lần tăng 4.
Số cần điền là: 20 + 4 = 24.
Bài 2:
Các số lần lượt tăng thêm: 5, 7, 9, 11, 13.
Số cần điền là: 24 + 11 = 35.
Bài 3:
Các số lần lượt giảm: 3, 4, 5, 6.
Số cần điền là: 38 - 6 = 32.
Bài 4:
Các số ở vị trí lẻ là: 2, 3, 4, 5.
Số cần điền là: 5.
Bài 5:
Mỗi lần nhân 2 rồi cộng 1.
Số cần điền là: 15 × 2 + 1 = 31.
Bài 6:
Các số lần lượt tăng thêm: 4, 6, 8, 10, 12.
Số cần điền là: 30 + 12 = 42.
Phụ huynh nên hỗ trợ con học quy luật dãy số như thế nào?
Khi con chưa tìm được đáp án, phụ huynh không nên nói ngay:
“Dãy này mỗi lần cộng 2.”
Thay vào đó, có thể hỏi:
“Số sau lớn hơn hay nhỏ hơn số trước?”
“Con thử lấy số sau trừ số trước xem.”
“Các số tăng thêm có giống nhau không?”
“Có thể tách số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn không?”
“Con thử kiểm tra quy luật này với số tiếp theo nhé.”
“Con có thể nói lại quy luật bằng lời không?”
Những câu hỏi này giúp học sinh tự quan sát và hình thành thói quen kiểm tra, thay vì chờ người lớn đưa đáp án.
Tại ToanTuDuy.org, các bài quy luật nên đi từ trực quan đến suy luận: bắt đầu bằng hình ảnh và dãy cộng trừ đơn giản, sau đó mới tăng dần sang quy luật xen kẽ hoặc quy luật nhiều bước.
Kết luận
Tìm quy luật dãy số không phải là đoán một con số may mắn. Học sinh cần quan sát sự thay đổi giữa các số, thử cộng trừ, nhân chia, tách nhóm khi cần và kiểm tra lại toàn bộ dãy.
Chỉ với 5 bước:
- Xem dãy tăng, giảm hay xen kẽ.
- Tính phần chênh lệch giữa các số.
- Kiểm tra phép nhân hoặc phép chia.
- Tách dãy thành từng nhóm khi cần.
- Thử lại quy luật với toàn bộ dãy.
Học sinh sẽ tự tin hơn trước những bài toán quy luật mới.
Tại ToanTuDuy.org, việc học Toán không chỉ hướng đến đáp án đúng. Điều quan trọng hơn là giúp học sinh biết quan sát, tìm mối liên hệ và giải thích được vì sao mình chọn đáp án đó.
