Cách giải bài toán hiệu – tỉ số bằng sơ đồ đoạn thẳng

Nhiều học sinh thấy đề bài có “hiệu” thì nghĩ ngay đến bài toán tổng – hiệu. Nhưng có một dạng khác cũng rất thường gặp:

Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số là 5 : 3. Tìm hai số đó.

Bài này không cho tổng. Vì vậy, không thể lấy hiệu cộng hoặc trừ với tổng rồi chia 2 như bài tổng – hiệu.

Điểm quan trọng của dạng toán này là: đề bài cho biết hai số chênh lệch nhau bao nhiêu, đồng thời cho biết mỗi số gồm bao nhiêu phần bằng nhau. Sơ đồ đoạn thẳng sẽ giúp học sinh nhìn thấy rõ phần chênh lệch đó nằm ở đâu.

Tại ToanTuDuy.org, bài toán hiệu – tỉ số nên được học bằng sơ đồ trước khi nhớ công thức. Khi nhìn thấy số lớn gồm 5 phần, số bé gồm 3 phần, học sinh sẽ hiểu ngay hiệu 24 chính là giá trị của 2 phần còn thừa.

Bài toán hiệu – tỉ số là gì?

Bài toán hiệu – tỉ số thường có ba dữ kiện:

• Biết hiệu của hai đại lượng.
• Biết tỉ số của hai đại lượng.
• Cần tìm giá trị của từng đại lượng.

Ví dụ:

Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số là 5 : 3. Tìm hai số đó.

Trong bài này:

• Số lớn gồm 5 phần bằng nhau.
• Số bé gồm 3 phần bằng nhau.
• Số lớn hơn số bé 2 phần.
• 2 phần đó có giá trị là 24.

Từ đó, học sinh có thể tìm giá trị của 1 phần, rồi tìm từng số.

Cách nhận biết bài toán hiệu – tỉ số

Đề bài có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau:

• Hiệu của hai số là…
• Số lớn hơn số bé…
• Bạn A nhiều hơn bạn B…
• Ngăn trên nhiều hơn ngăn dưới…
• Tuổi anh hơn tuổi em…
• Số cây của tổ 2 hơn số cây của tổ 1…
• Số A bằng 3/5 số B.
• Tỉ số của hai số là 3 : 5.
• Số lớn gấp 5/3 số bé.

Ví dụ:

Số nhãn vở của An bằng 5/3 số nhãn vở của Bình. An nhiều hơn Bình 28 nhãn vở. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?

Bài này cho:

• Tỉ số An và Bình là 5 : 3.
• Hiệu là 28 nhãn vở.

Đây là bài toán hiệu – tỉ số.

Phân biệt hiệu – tỉ số với các dạng toán gần giống

Tổng – hiệu

Tổng hai số là 72. Hiệu hai số là 18.

Bài này biết tổng và hiệu.

Tổng – tỉ số

Tổng hai số là 72. Tỉ số của hai số là 5 : 3.

Bài này biết tổng và tỉ số.

Hiệu – tỉ số

Hiệu hai số là 18. Tỉ số của hai số là 5 : 3.

Bài này biết hiệu và tỉ số.

Học sinh cần đọc kỹ đề để xác định đúng hai dữ kiện đã cho. Chỉ cần nhầm tổng thành hiệu hoặc nhầm hiệu thành tỉ số thì toàn bộ cách giải sẽ sai.

Vì sao sơ đồ đoạn thẳng giúp giải dạng hiệu – tỉ số dễ hơn?

Ví dụ:

Hiệu hai số là 24. Tỉ số hai số là 5 : 3.

Ta vẽ:

 

• Số lớn: 5 phần bằng nhau.
• Số bé: 3 phần bằng nhau.

Số lớn hơn số bé:

5 – 3 = 2 phần

Mà hiệu hai số là 24.

Vậy 2 phần bằng nhau có giá trị là 24.

Một phần có giá trị là:

24 : 2 = 12

Số lớn là:

12 × 5 = 60

Số bé là:

12 × 3 = 36

Sơ đồ giúp học sinh không phải đoán “24 nên chia cho số nào”. Con nhìn thấy rõ 24 chính là phần thừa của số lớn so với số bé.

Khi trình bày trong bài viết, có thể dùng mẫu Hơn – kém trong plugin sơ đồ đoạn thẳng của ToanTuDuy.org:

• Dòng trên: số lớn, 5 phần.
• Dòng dưới: số bé, 3 phần.
• Phần thừa: 24.

4 bước giải bài toán hiệu – tỉ số

Bước 1: Xác định số lớn, số bé và tỉ số

Ví dụ:

Hiệu hai số là 24. Tỉ số hai số là 5 : 3.

Vì 5 > 3 nên:

• Số lớn gồm 5 phần.
• Số bé gồm 3 phần.

Không nên chỉ nhìn thấy hai số 5 và 3 rồi bắt đầu tính ngay. Học sinh cần hiểu số nào ứng với đại lượng nào.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau

Số lớn hơn số bé:

5 – 3 = 2 phần

Đây là bước quan trọng nhất.

Nhiều học sinh nhầm lấy 5 + 3 = 8 phần. Nhưng 8 phần là tổng số phần, chỉ dùng cho bài toán tổng – tỉ số.

Ở bài hiệu – tỉ số, cần lấy:

Số phần của số lớn – số phần của số bé

Bước 3: Tìm giá trị của một phần

Hiệu hai số là 24, ứng với 2 phần.

Giá trị của 1 phần là:

24 : 2 = 12

Bước 4: Tìm từng số và kiểm tra

Số lớn là:

12 × 5 = 60

Số bé là:

12 × 3 = 36

Kiểm tra:

60 – 36 = 24

60 : 36 = 5 : 3

Đáp số đúng với cả hiệu và tỉ số đã cho.

Ví dụ 1: Dạng cơ bản

Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số là 5 : 3. Tìm hai số đó.

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 3 = 2 (phần)

Giá trị của 1 phần là:

24 : 2 = 12

Số lớn là:

12 × 5 = 60

Số bé là:

12 × 3 = 36

Đáp số: số lớn là 60, số bé là 36.

Ví dụ 2: Bài toán về nhãn vở

An có số nhãn vở bằng 5/3 số nhãn vở của Bình. An nhiều hơn Bình 28 nhãn vở. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?

Tỉ số số nhãn vở của An và Bình là:

5 : 3

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 3 = 2 (phần)

Số nhãn vở ứng với 1 phần là:

28 : 2 = 14 (nhãn vở)

Số nhãn vở của An là:

14 × 5 = 70 (nhãn vở)

Số nhãn vở của Bình là:

14 × 3 = 42 (nhãn vở)

Đáp số: An có 70 nhãn vở; Bình có 42 nhãn vở.

Kiểm tra lại

70 – 42 = 28

70 : 42 = 5 : 3

Ví dụ 3: Bài toán về số cây

Số cây của tổ Một bằng 3/7 số cây của tổ Hai. Tổ Hai trồng nhiều hơn tổ Một 48 cây. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?

Tỉ số số cây của tổ Một và tổ Hai là:

3 : 7

Hiệu số phần bằng nhau là:

7 – 3 = 4 (phần)

Số cây ứng với 1 phần là:

48 : 4 = 12 (cây)

Số cây tổ Một trồng được là:

12 × 3 = 36 (cây)

Số cây tổ Hai trồng được là:

12 × 7 = 84 (cây)

Đáp số: tổ Một trồng 36 cây; tổ Hai trồng 84 cây.

Ví dụ 4: Dạng bài về tuổi

Tuổi em bằng 2/5 tuổi anh. Anh hơn em 27 tuổi. Hỏi mỗi người bao nhiêu tuổi?

Tỉ số tuổi em và tuổi anh là:

2 : 5

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 2 = 3 (phần)

Giá trị của 1 phần là:

27 : 3 = 9 (tuổi)

Tuổi em là:

9 × 2 = 18 (tuổi)

Tuổi anh là:

9 × 5 = 45 (tuổi)

Đáp số: em 18 tuổi; anh 45 tuổi.

Khi giải bài toán tuổi, học sinh cần chú ý các số tuổi phải được tính ở cùng một thời điểm.

Ví dụ 5: Dạng nâng cao có chuyển đồ vật

Hai giỏ có số cam theo tỉ số 7 : 4. Nếu chuyển 6 quả cam từ giỏ nhiều sang giỏ ít thì số cam ở hai giỏ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi giỏ có bao nhiêu quả cam?

Đây chưa phải bài hiệu – tỉ số trực tiếp, vì đề chưa cho hiệu ban đầu.

Tuy nhiên, khi chuyển 6 quả từ giỏ nhiều sang giỏ ít:

• Giỏ nhiều giảm 6 quả.
• Giỏ ít tăng 6 quả.
• Hiệu giảm: 6 + 6 = 12 quả.

Sau khi chuyển, hai giỏ bằng nhau nên hiệu còn lại là 0.

Vậy hiệu lúc đầu là:

12 quả

Tỉ số số cam của hai giỏ là:

7 : 4

Hiệu số phần bằng nhau là:

7 – 4 = 3 (phần)

Giá trị của 1 phần là:

12 : 3 = 4 (quả)

Số cam ở giỏ nhiều là:

4 × 7 = 28 (quả)

Số cam ở giỏ ít là:

4 × 4 = 16 (quả)

Đáp số: giỏ nhiều có 28 quả cam; giỏ ít có 16 quả cam.

Kiểm tra

Sau khi chuyển:

28 – 6 = 22

16 + 6 = 22

Hai giỏ có số cam bằng nhau, đúng với đề bài.

Công thức hiệu – tỉ số và cách hiểu

Sau khi đã hiểu sơ đồ đoạn thẳng, học sinh có thể ghi nhớ:

Giá trị của 1 phần = Hiệu : Hiệu số phần

Nếu tỉ số của số lớn và số bé là a : b, với a > b, thì:

Số lớn = Hiệu : (a – b) × a

Số bé = Hiệu : (a – b) × b

Ví dụ:

Hiệu là 24, tỉ số là 5 : 3.

Giá trị của 1 phần là:

24 : (5 – 3) = 12

Số lớn là:

12 × 5 = 60

Số bé là:

12 × 3 = 36

Công thức chỉ là cách viết ngắn gọn của sơ đồ. Học sinh cần hiểu 5 – 3 chính là số phần chênh lệch.

Những lỗi học sinh thường gặp

Lỗi 1: Lấy hiệu chia cho tổng số phần

Ví dụ:

Hiệu là 24, tỉ số là 5 : 3.

Có em làm:

5 + 3 = 8

24 : 8 = 3

Đây là cách làm sai vì 24 là hiệu, không phải tổng.

Số 24 chỉ ứng với phần chênh lệch:

5 – 3 = 2 phần

Vì vậy phải làm:

24 : 2 = 12

Lỗi 2: Nhầm số lớn và số bé

Ví dụ tỉ số là:

3 : 7

Nếu đề nói số cây tổ Một bằng 3/7 số cây tổ Hai thì:

• Tổ Một là 3 phần.
• Tổ Hai là 7 phần.

Không được đổi ngược vị trí vì điều đó sẽ khiến kết quả sai hoàn toàn.

Lỗi 3: Tìm được giá trị một phần rồi dừng lại

Ví dụ:

Hiệu là 48, tỉ số là 3 : 7.

Học sinh tìm:

48 : (7 – 3) = 12

Số 12 mới là giá trị của 1 phần, chưa phải đáp số.

Cần tìm tiếp:

12 × 3 = 36

12 × 7 = 84

Lỗi 4: Không kiểm tra lại hiệu

Sau khi tìm được hai số, học sinh nên kiểm tra:

Số lớn – số bé có đúng bằng hiệu không?

Ví dụ:

84 – 36 = 48

Nếu đúng, lời giải hợp lý.

Điều kiện để bài toán có đáp án là số tự nhiên

Trong bài toán về số lượng đồ vật, học sinh, sách vở hoặc cây cối, kết quả thường cần là số tự nhiên.

Vì vậy, hiệu phải chia hết cho hiệu số phần.

Ví dụ:

Hiệu hai số là 25. Tỉ số hai số là 5 : 3.

Hiệu số phần là:

5 – 3 = 2

Ta có:

25 : 2 = 12,5

Vì không tìm được giá trị nguyên của một phần nên không thể có hai số tự nhiên thỏa mãn dữ kiện này.

Đây là một cách kiểm tra hữu ích khi gặp bài toán tìm hai số.

Bài tự luyện

Bài 1: Hiệu của hai số là 42. Tỉ số của hai số là 6 : 3. Tìm hai số đó.

Bài 2: Số sách của ngăn trên bằng 5/2 số sách của ngăn dưới. Ngăn trên nhiều hơn ngăn dưới 36 quyển sách. Hỏi mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?

Bài 3: Số học sinh giỏi của lớp 5A bằng 4/7 số học sinh giỏi của lớp 5B. Lớp 5B có nhiều hơn lớp 5A 21 học sinh giỏi. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh giỏi?

Bài 4: Hai kho có số bao gạo theo tỉ số 8 : 5. Nếu chuyển 9 bao gạo từ kho nhiều sang kho ít thì số bao gạo ở hai kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu bao gạo?

Bài 5: Hiệu của hai số là 31. Tỉ số của hai số là 7 : 3. Hai số đó có thể đều là số tự nhiên không? Vì sao?

Đáp án

Bài 1:
Hiệu số phần là 6 - 3 = 3 phần.
Một phần là 42 : 3 = 14.
Hai số là 14 × 6 = 84 và 14 × 3 = 42.

Bài 2:
Hiệu số phần là 5 - 2 = 3 phần.
Một phần là 36 : 3 = 12.
Ngăn trên có 12 × 5 = 60 quyển sách.
Ngăn dưới có 12 × 2 = 24 quyển sách.

Bài 3:
Hiệu số phần là 7 - 4 = 3 phần.
Một phần là 21 : 3 = 7.
Lớp 5A có 7 × 4 = 28 học sinh giỏi.
Lớp 5B có 7 × 7 = 49 học sinh giỏi.

Bài 4:
Khi chuyển 9 bao gạo, hiệu giảm 9 + 9 = 18 bao.
Hiệu ban đầu là 18 bao.
Hiệu số phần là 8 - 5 = 3 phần.
Một phần là 18 : 3 = 6 bao.
Kho nhiều có 6 × 8 = 48 bao.
Kho ít có 6 × 5 = 30 bao.

Bài 5:
Không. Vì hiệu số phần là 7 - 3 = 4 phần, nhưng 31 : 4 không phải là số tự nhiên.

Phụ huynh nên hỗ trợ con học dạng hiệu – tỉ số như thế nào?

Thay vì hỏi ngay:

“Con nhớ công thức chưa?”

Phụ huynh có thể hỏi:

“Bài này cho biết tổng hay hiệu?”
“Hai số theo tỉ số mấy phần và mấy phần?”
“Số lớn hơn số bé bao nhiêu phần?”
“Hiệu đã cho ứng với mấy phần?”
“Con đã tìm được giá trị của một phần chưa?”
“Con kiểm tra lại hiệu được không?”

Những câu hỏi này giúp học sinh nhìn đúng cấu trúc bài toán trước khi bắt đầu tính.

Tại ToanTuDuy.org, sơ đồ đoạn thẳng không chỉ dùng để minh họa lời giải. Đây là công cụ để học sinh chuyển dữ kiện bằng chữ thành các phần bằng nhau, từ đó tự tìm ra phép tính phù hợp.

Kết luận

Bài toán hiệu – tỉ số sẽ dễ hiểu hơn khi học sinh nắm được ý tưởng:

Hiệu của hai số chính là hiệu số phần bằng nhau trên sơ đồ.

Khi biết tỉ số, học sinh vẽ được số lớn và số bé thành các phần bằng nhau. Khi biết hiệu, học sinh tìm được giá trị của một phần. Từ đó, việc tìm từng số trở nên rõ ràng và có lý do.

Tại ToanTuDuy.org, học sinh nên luyện dạng hiệu – tỉ số từ bài cơ bản đến bài có chuyển đồ vật hoặc thay đổi dữ kiện. Khi hiểu sơ đồ, con sẽ không chỉ nhớ cách làm mà còn tự tin hơn khi đề bài đổi cách hỏi.