Nhiều học sinh gặp bài toán có hai số, biết tổng và biết số lớn hơn số bé bao nhiêu, nhưng vẫn chưa biết bắt đầu từ đâu.
Ví dụ:
Tổng của hai số là 72. Hiệu của hai số là 18. Tìm hai số đó.
Có em lấy 72 : 2 = 36 rồi cho rằng hai số là 36 và 36. Cách làm này mới chỉ chia đều tổng, nhưng chưa xử lý phần chênh lệch 18.
Có em lại cộng ngay:
72 + 18 = 90
rồi không biết làm tiếp thế nào.
Thực tế, bài toán tổng – hiệu sẽ trở nên dễ hiểu hơn nhiều khi học sinh biết vẽ sơ đồ đoạn thẳng. Sơ đồ giúp con nhìn thấy rõ: số lớn gồm một phần bằng số bé và một phần thừa đúng bằng hiệu.
Tại ToanTuDuy.org, sơ đồ đoạn thẳng không chỉ là cách trình bày đẹp hơn. Đây là công cụ giúp học sinh nhìn được mối quan hệ giữa các dữ kiện, từ đó tự chọn phép tính thay vì học thuộc công thức một cách máy móc.
Bài toán tổng – hiệu là gì?
Bài toán tổng – hiệu thường có ba đặc điểm:
- Có hai đại lượng cần tìm.
- Biết tổng của hai đại lượng.
- Biết đại lượng lớn hơn đại lượng bé bao nhiêu đơn vị.
Ví dụ:
Tổng số nhãn vở của An và Bình là 48. An có nhiều hơn Bình 12 nhãn vở. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?
Trong bài này:
- Tổng là 48 nhãn vở.
- Hiệu là 12 nhãn vở.
- Cần tìm số nhãn vở của từng bạn.
Đây chính là bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu.
Cách nhận biết bài toán tổng – hiệu
Học sinh có thể gặp dạng bài này với nhiều cách diễn đạt khác nhau:
- Tổng của hai số là…
- Cả hai có…
- Cả hai bạn có tất cả…
- Tổng số sách của hai ngăn là…
- Số lớn hơn số bé…
- Bạn A nhiều hơn bạn B…
- Ngăn trên hơn ngăn dưới…
- Mẹ hơn con…
- Hiệu của hai số là…
Ví dụ:
Hai thùng có tất cả 96 kg gạo. Thùng thứ nhất nhiều hơn thùng thứ hai 18 kg. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Dù bài toán nói về gạo, nhãn vở, tuổi hay số sách, cách suy luận vẫn giống nhau:
- Biết tổng.
- Biết phần hơn.
- Tìm từng phần.
Cần phân biệt dạng này với bài toán tổng – tỉ số. Nếu đề nói:
Số A gấp 3 lần số B.
thì đó là mối quan hệ tỉ số, không phải hiệu.
Vì sao nên vẽ sơ đồ đoạn thẳng?
Với bài toán tổng – hiệu, số lớn luôn gồm:
- Một phần bằng số bé.
- Một phần thừa hơn số bé.
Ví dụ:
Tổng hai số là 72. Hiệu hai số là 18.
Ta có thể hình dung:
- Số bé là một đoạn thẳng.
- Số lớn là một đoạn bằng số bé, cộng thêm phần thừa 18.
- Tổng của hai đoạn là 72.
Khi bỏ phần thừa 18 ra khỏi tổng 72, hai phần còn lại sẽ bằng nhau.
Ta có:
72 – 18 = 54
Lúc này 54 là tổng của hai phần bằng nhau.
Mỗi phần là:
54 : 2 = 27
Vậy số bé là 27.
Số lớn là:
27 + 18 = 45
Đáp số: số lớn là 45, số bé là 27.
Đây chính là lý do của công thức, không phải một mẹo cần học thuộc.
4 bước giải bài toán tổng – hiệu bằng sơ đồ đoạn thẳng
Bước 1: Xác định tổng và hiệu
Học sinh cần đọc kỹ đề bài để tìm:
- Tổng là bao nhiêu?
- Hiệu là bao nhiêu?
- Đại lượng nào lớn hơn?
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
Ví dụ:
Tổng số tuổi của hai anh em là 315 tháng. Tuổi em bằng 4/5 tuổi anh.
Bài này không phải tổng – hiệu, vì đề cho biết tỉ số 4/5, không cho biết phần hơn kém cụ thể.
Nhưng với bài:
Tổng số tuổi của hai anh em là 42. Anh hơn em 8 tuổi.
thì:
- Tổng là 42 tuổi.
- Hiệu là 8 tuổi.
- Anh là số lớn.
- Em là số bé.
Bước 2: Vẽ hai đoạn thẳng
Vẽ đoạn thẳng của số bé trước.
Sau đó vẽ đoạn thẳng của số lớn dài hơn, trong đó phần đầu bằng đoạn của số bé và phần còn thừa đúng bằng hiệu.
Ví dụ:
Số lớn hơn số bé 18 đơn vị.
Sơ đồ cần thể hiện:
- Số lớn: phần bằng số bé + phần thừa 18.
- Số bé: chỉ có phần bằng nhau.
- Tổng của cả hai đoạn là 72.
Bước 3: Bớt phần thừa rồi chia đều
Tổng ban đầu gồm:
- Một phần bằng số bé.
- Một phần bằng số bé nữa.
- Phần thừa là hiệu.
Muốn tìm hai phần bằng nhau, cần lấy tổng trừ đi hiệu.
Ví dụ:
Tổng là 72, hiệu là 18.
Ta có:
72 – 18 = 54
Sau khi bỏ phần thừa, 54 là tổng của hai phần bằng nhau.
Vậy số bé là:
54 : 2 = 27
Bước 4: Tìm số lớn và kiểm tra lại
Sau khi tìm được số bé, lấy số bé cộng với hiệu để tìm số lớn.
27 + 18 = 45
Kiểm tra:
45 + 27 = 72
45 – 27 = 18
Cả tổng và hiệu đều đúng, vậy đáp án hợp lý.
Công thức tổng – hiệu và cách hiểu đúng
Sau khi đã hiểu sơ đồ, học sinh có thể ghi nhớ công thức:
Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2
Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2
Ví dụ:
Tổng là 72, hiệu là 18.
Số lớn là:
(72 + 18) : 2 = 45
Số bé là:
(72 – 18) : 2 = 27
Tuy nhiên, học sinh không nên dùng công thức ngay khi chưa hiểu bài. Khi đề bài thay đổi cách hỏi, sơ đồ đoạn thẳng sẽ giúp con biết tổng nào cần dùng, hiệu nào cần dùng và đại lượng nào là số lớn.
Tại ToanTuDuy.org, học sinh nên tập giải bằng sơ đồ trước. Khi đã hiểu bản chất, công thức sẽ trở thành cách làm ngắn gọn hơn, không phải điều cần nhớ một cách rời rạc.
Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu
Tổng của hai số là 94. Hiệu của hai số là 16. Tìm hai số đó.
Ta có:
Số bé là:
(94 – 16) : 2 = 39
Số lớn là:
39 + 16 = 55
Đáp số: số lớn là 55, số bé là 39.
Kiểm tra:
55 + 39 = 94
55 – 39 = 16
Ví dụ 2: Bài toán có lời văn
Hai ngăn sách có tất cả 96 quyển sách. Ngăn trên có nhiều hơn ngăn dưới 18 quyển sách. Hỏi mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?
Ngăn trên là số lớn, ngăn dưới là số bé.
Số sách ở ngăn dưới là:
(96 – 18) : 2 = 39 (quyển)
Số sách ở ngăn trên là:
39 + 18 = 57 (quyển)
Đáp số: ngăn trên có 57 quyển sách, ngăn dưới có 39 quyển sách.
Kiểm tra lại
57 + 39 = 96
57 – 39 = 18
Kết quả đúng với dữ kiện đề bài.
Ví dụ 3: Bài toán về tuổi
Tổng số tuổi của mẹ và con là 42 tuổi. Mẹ hơn con 26 tuổi. Hỏi mỗi người bao nhiêu tuổi?
Mẹ là số lớn, con là số bé.
Tuổi của con là:
(42 – 26) : 2 = 8 (tuổi)
Tuổi của mẹ là:
8 + 26 = 34 (tuổi)
Đáp số: mẹ 34 tuổi, con 8 tuổi.
Khi giải bài toán tuổi, học sinh cần chú ý: tổng tuổi và hiệu tuổi đều phải được tính ở cùng một thời điểm.
Ví dụ 4: Dạng nâng cao có chuyển đồ vật
Hai giỏ có tất cả 92 quả cam. Chuyển 5 quả cam từ giỏ nhiều sang giỏ ít thì giỏ nhiều vẫn hơn giỏ ít 8 quả cam. Hỏi lúc đầu mỗi giỏ có bao nhiêu quả cam?
Đây không phải bài tổng – hiệu trực tiếp vì đề chưa nói hiệu lúc đầu.
Tuy nhiên, khi chuyển 5 quả từ giỏ nhiều sang giỏ ít:
- Giỏ nhiều giảm 5 quả.
- Giỏ ít tăng 5 quả.
- Hiệu giảm đi:
5 + 5 = 10quả.
Sau khi chuyển, hiệu là 8 quả.
Vậy hiệu lúc đầu là:
8 + 10 = 18 (quả)
Bây giờ bài toán trở thành:
- Tổng là 92 quả.
- Hiệu là 18 quả.
Số cam ở giỏ ít là:
(92 – 18) : 2 = 37 (quả)
Số cam ở giỏ nhiều là:
37 + 18 = 55 (quả)
Đáp số: lúc đầu giỏ nhiều có 55 quả cam, giỏ ít có 37 quả cam.
Kiểm tra sau khi chuyển:
55 – 5 = 50
37 + 5 = 42
50 – 42 = 8
Kết quả đúng với đề bài.
Những lỗi học sinh thường gặp khi giải bài toán tổng – hiệu
Chia tổng cho 2 rồi dừng lại
Ví dụ:
Tổng là 72, hiệu là 18.
Học sinh làm:
72 : 2 = 36
Rồi kết luận mỗi số là 36.
Cách làm này chỉ đúng khi hiệu bằng 0, tức là hai số bằng nhau.
Vì đề cho hiệu là 18 nên một số phải lớn hơn số kia.
Lấy tổng cộng hiệu rồi quên chia 2
Ví dụ:
72 + 18 = 90
Có học sinh kết luận số lớn là 90.
Thực tế, 72 + 18 chưa phải số lớn. Công thức đúng là:
(72 + 18) : 2 = 45
Nhầm số lớn và số bé
Có em tìm được số bé nhưng lại ghi nhầm là số lớn.
Sau khi tìm xong, học sinh cần quay lại xem:
- Đối tượng nào nhiều hơn?
- Đối tượng nào ít hơn?
- Câu hỏi đề bài yêu cầu tìm ai?
Không kiểm tra lại tổng và hiệu
Một phép kiểm tra rất nhanh:
Số lớn + số bé có đúng bằng tổng không?
Số lớn – số bé có đúng bằng hiệu không?
Nếu một trong hai điều không đúng, cần xem lại lời giải.
Điều kiện để bài toán có đáp án là số tự nhiên
Trong các bài toán về số lượng đồ vật, số học sinh, số sách hoặc số nhãn vở, đáp án thường là số tự nhiên.
Vì vậy, học sinh có thể tự kiểm tra:
- Tổng phải lớn hơn hoặc bằng hiệu.
- Tổng trừ hiệu phải chia hết cho 2.
Ví dụ:
Tổng hai số là 75, hiệu là 16.
Ta có:
75 – 16 = 59
Vì 59 không chia hết cho 2 nên không thể tìm được hai số tự nhiên có tổng là 75 và hiệu là 16.
Đây là một cách kiểm tra rất tốt với các bài toán tìm hai số.
Bài tự luyện
Bài 1: Tổng của hai số là 128. Hiệu của hai số là 34. Tìm hai số đó.
Bài 2: Hai thùng có tất cả 174 kg gạo. Thùng thứ nhất nhiều hơn thùng thứ hai 26 kg gạo. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Bài 3: Tổng số tuổi của hai chị em là 36 tuổi. Chị hơn em 6 tuổi. Hỏi mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài 4: Hai hộp có tất cả 86 viên bi. Chuyển 4 viên bi từ hộp nhiều sang hộp ít thì hộp nhiều hơn hộp ít 6 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên bi?
Bài 5: Tổng của hai số là 57, hiệu của hai số là 14. Hai số đó có thể đều là số tự nhiên không? Vì sao?
Đáp án
Bài 1: Số lớn là 81, số bé là 47.
Bài 2: Thùng thứ nhất có 100 kg gạo, thùng thứ hai có 74 kg gạo.
Bài 3: Chị 21 tuổi, em 15 tuổi.
Bài 4: Sau khi chuyển 4 viên bi, hiệu giảm 4 + 4 = 8 viên. Hiệu ban đầu là 6 + 8 = 14 viên. Hộp nhiều có 50 viên bi, hộp ít có 36 viên bi.
Bài 5: Không. Vì 57 - 14 = 43, mà 43 không chia hết cho 2.
Phụ huynh nên hỗ trợ con học dạng tổng – hiệu như thế nào?
Khi con gặp bài toán, phụ huynh không nên hỏi ngay:
“Con nhớ công thức chưa?”
Thay vào đó, có thể hỏi:
“Bài này có mấy đối tượng?”
“Con biết tổng là bao nhiêu?”
“Con biết phần hơn là bao nhiêu?”
“Con thử vẽ số lớn dài hơn số bé một đoạn nhé.”
“Nếu bỏ phần thừa đi thì còn lại mấy phần bằng nhau?”
“Con kiểm tra lại tổng và hiệu được không?”
Những câu hỏi này giúp học sinh hiểu cách giải thay vì chỉ làm theo công thức.
Kết luận
Bài toán tổng – hiệu sẽ không còn khó khi học sinh hiểu được một ý tưởng đơn giản:
Số lớn gồm số bé và phần hơn.
Khi lấy tổng trừ đi phần hơn, ta còn lại hai phần bằng nhau. Từ đó, học sinh có thể tìm số bé, số lớn và kiểm tra lại đáp án một cách rõ ràng.
Tại ToanTuDuy.org, sơ đồ đoạn thẳng là cách giúp học sinh biến dữ kiện bằng chữ thành hình ảnh dễ hiểu. Khi biết quan sát sơ đồ, phân tích tổng và hiệu, con sẽ tự tin hơn với các bài toán có lời văn từ lớp 3 đến lớp 5.
