Nhiều học sinh nhớ công thức tính trung bình cộng:
Trung bình cộng = Tổng các số : Số các số hạng
Nhưng khi đề bài thay đổi một chút, chẳng hạn cho biết trung bình cộng và yêu cầu tìm một số còn thiếu, thêm một số mới hoặc bớt đi một số, các em lại dễ lúng túng.
Ví dụ:
Trung bình cộng của 5 ngày là 86 kg.
Bốn ngày đầu thu hoạch được 82 kg, 90 kg, 78 kg và 88 kg.
Hỏi ngày thứ năm thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam?
Muốn giải bài này, học sinh không thể chỉ lấy các số đã biết cộng lại rồi chia. Các em cần hiểu rằng “trung bình 86 kg trong 5 ngày” nghĩa là tổng số ki-lô-gam của cả 5 ngày là:
86 × 5 = 430 kg
Đây chính là điểm quan trọng của dạng Toán trung bình cộng: hiểu được tổng ẩn phía sau số trung bình cộng.
Tại ToanTuDuy.org, các bài toán trung bình cộng không chỉ giúp học sinh ghi nhớ công thức mà còn rèn khả năng phân tích dữ kiện, tìm tổng, suy luận ngược và kiểm tra đáp án.
Trung bình cộng là gì?
Trung bình cộng là số nhận được khi chia đều tổng của nhiều số thành các phần bằng nhau.
Ví dụ, ba bạn có số nhãn vở lần lượt là:
24, 30 và 36
Tổng số nhãn vở là:
24 + 30 + 36 = 90
Chia đều cho 3 bạn:
90 : 3 = 30
Vậy trung bình cộng số nhãn vở của ba bạn là:
30 nhãn vở
Điều này không có nghĩa cả ba bạn đều có đúng 30 nhãn vở. Nó chỉ cho biết: nếu gom tất cả lại rồi chia đều thì mỗi bạn sẽ có 30 nhãn vở.
Ba mối quan hệ trung bình cộng quan trọng cần nhớ
Khi học bài toán trung bình cộng, các em cần hiểu ba cách biến đổi sau:
Trung bình cộng = Tổng : Số các số hạng
Tổng = Trung bình cộng × Số các số hạng
Một số chưa biết = Tổng – Tổng các số đã biết
Đây không phải là ba công thức rời rạc. Chúng liên quan với nhau.
Khi bài toán cho trung bình cộng nhưng chưa cho tổng, hãy tìm tổng trước. Khi bài toán thiếu một số, hãy lấy tổng trừ đi các số đã biết.
4 bước giải bài toán trung bình cộng
Bước 1: Xác định có bao nhiêu số
Hãy đọc kỹ đề để biết trung bình cộng được tính cho mấy số, mấy ngày, mấy người hoặc mấy đồ vật.
Ví dụ:
Trung bình cộng của 4 số là 54.
Ta biết có:
4 số
Bước 2: Xác định đề bài cho tổng hay cho trung bình cộng
Nếu đề cho trung bình cộng, hãy nghĩ ngay đến tổng.
Ví dụ:
Trung bình cộng của 4 số là 54.
Tổng của 4 số là:
54 × 4 = 216
Bước 3: Viết rõ các số đã biết và số cần tìm
Nếu đã biết một số số hạng, hãy cộng chúng lại.
Sau đó lấy tổng trừ đi phần đã biết để tìm số còn thiếu.
Bước 4: Kiểm tra lại bằng trung bình cộng
Sau khi tìm được đáp án, hãy cộng toàn bộ các số rồi chia cho số lượng số hạng. Nếu kết quả đúng bằng trung bình cộng đề bài cho thì bài làm hợp lý.
Ví dụ 1: Tìm số còn thiếu khi biết trung bình cộng
Trung bình cộng của 5 ngày là 86 kg.
Bốn ngày đầu thu hoạch được 82 kg, 90 kg, 78 kg và 88 kg.
Hỏi ngày thứ năm thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam?
Tổng số ki-lô-gam thu hoạch trong 5 ngày là:
86 × 5 = 430 kg
Tổng số ki-lô-gam của 4 ngày đầu là:
82 + 90 + 78 + 88 = 338 kg
Ngày thứ năm thu hoạch được:
430 – 338 = 92 kg
Đáp số: 92 kg
Kiểm tra: (82 + 90 + 78 + 88 + 92) : 5 = 86
Điều cần rút ra
Khi đề bài cho trung bình cộng và hỏi một số chưa biết, hãy tìm tổng trước. Đây là cách giải quan trọng nhất của dạng Toán này.
Ví dụ 2: Biết trung bình cộng của các nhóm nhỏ
Trung bình cộng của 4 số là 54.
Trung bình cộng của 3 số đầu là 50.
Tìm số thứ tư.
Tổng của 4 số là: 54 × 4 = 216
Tổng của 3 số đầu là: 50 × 3 = 150
Số thứ tư là: 216 – 150 = 66
Đáp số: 66
Ví dụ này cho thấy trung bình cộng có thể giúp ta tìm tổng của một nhóm số, sau đó so sánh với tổng của nhóm lớn hơn.
Ví dụ 3: Kết hợp trung bình cộng với bài toán tổng và hiệu
Trung bình cộng số viên bi của ba bạn An, Bình và Chi là 36 viên.
An có nhiều hơn Bình 8 viên bi.
Chi có 42 viên bi.
Hỏi An và Bình mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Tổng số viên bi của ba bạn là:
36 × 3 = 108 viên
Tổng số viên bi của An và Bình là:
108 – 42 = 66 viên
An nhiều hơn Bình 8 viên bi.
Ta có bài toán tổng và hiệu:
Tổng: 66
Hiệu: 8
Số viên bi của Bình là:
(66 – 8) : 2 = 29 viên
Số viên bi của An là:
29 + 8 = 37 viên
Đáp số:
An có 37 viên bi
Bình có 29 viên bi
Kiểm tra:
37 + 29 + 42 = 108
108 : 3 = 36
Điều cần rút ra
Một bài toán trung bình cộng có thể kết hợp với dạng tổng và hiệu. Khi gặp bài nhiều dữ kiện, các em nên chia thành từng bước nhỏ thay vì cố tìm đáp án ngay.
Ví dụ 4: Thêm một số mới thì trung bình cộng thay đổi thế nào?
Trung bình cộng khối lượng của 5 bao gạo là 48 kg.
Người ta thêm một bao gạo nặng 60 kg.
Hỏi trung bình cộng khối lượng của 6 bao gạo là bao nhiêu ki-lô-gam?
Tổng khối lượng của 5 bao gạo là:
48 × 5 = 240 kg
Khi thêm bao gạo 60 kg, tổng mới là:
240 + 60 = 300 kg
Lúc này có 6 bao gạo.
Trung bình cộng mới là:
300 : 6 = 50 kg
Đáp số: 50 kg
Điều cần rút ra
Khi thêm một số mới, cần thay đổi cả:
- Tổng các số
- Số lượng số hạng
Nhiều học sinh chỉ cộng thêm vào tổng nhưng quên tăng số lượng số hạng lên, dẫn đến kết quả sai.
Ví dụ 5: Bớt đi một số thì trung bình cộng thay đổi thế nào?
Trung bình cộng số sản phẩm trong 6 thùng là 45 sản phẩm.
Lấy ra một thùng có 30 sản phẩm.
Hỏi trung bình cộng số sản phẩm trong 5 thùng còn lại là bao nhiêu?
Tổng số sản phẩm trong 6 thùng là:
45 × 6 = 270 sản phẩm
Sau khi lấy ra một thùng có 30 sản phẩm, số sản phẩm còn lại là:
270 – 30 = 240 sản phẩm
Số thùng còn lại là:
6 – 1 = 5 thùng
Trung bình cộng mới là:
240 : 5 = 48 sản phẩm
Đáp số: 48 sản phẩm
Ta thấy thùng bị lấy ra có 30 sản phẩm, thấp hơn mức trung bình 45 sản phẩm. Vì vậy, sau khi bỏ thùng đó, trung bình cộng của các thùng còn lại tăng lên.
Đây là một cách quan sát rất hữu ích khi làm Toán tư duy.
Ví dụ 6: Chuyển đồ vật giữa các nhóm có làm thay đổi trung bình cộng không?
Trung bình cộng số sách của 4 tủ là 75 quyển.
Người ta chuyển 12 quyển sách từ tủ thứ nhất sang tủ thứ hai.
Hỏi trung bình cộng số sách của 4 tủ sau khi chuyển là bao nhiêu?
Tổng số sách không thay đổi vì chỉ chuyển sách từ tủ này sang tủ khác.
Số tủ cũng không thay đổi, vẫn là 4 tủ.
Vì vậy, trung bình cộng không thay đổi.
Đáp số: 75 quyển sách
Điều cần rút ra
Khi chỉ chuyển đồ vật giữa các nhóm:
- Tổng không đổi
- Số nhóm không đổi
Vì vậy, trung bình cộng cũng không đổi.
Đây là một dạng bài không cần tính dài, nhưng cần hiểu rõ bản chất.
Những lỗi học sinh thường gặp với dạng toán trung bình cộng
Nhầm trung bình cộng với tổng
Ví dụ, trung bình cộng của 5 số là 36 không có nghĩa tổng là 36.
Tổng phải là:
36 × 5 = 180
Quên nhân với số lượng số hạng
Khi muốn tìm tổng từ trung bình cộng, luôn phải nhân với số lượng số hạng.
Thêm hoặc bớt nhưng quên thay đổi số lượng
Khi thêm một số mới, số lượng số hạng tăng lên.
Khi bỏ một số đi, số lượng số hạng giảm xuống.
Không kiểm tra lại kết quả
Sau khi tìm được số còn thiếu, các em nên cộng lại toàn bộ các số rồi chia để kiểm tra.
Tại ToanTuDuy.org, bước kiểm tra không phải phần phụ. Đây là thói quen giúp học sinh làm bài chắc chắn hơn, đặc biệt với các bài nhiều bước.
Bài tập tự luyện tại ToanTuDuy.org
Bài 1: Trung bình cộng của 4 số là 72. Ba số đầu lần lượt là 65, 70 và 78. Tìm số thứ tư.
Bài 2: Trung bình cộng của 5 ngày bán hàng là 124 sản phẩm. Bốn ngày đầu bán được 118, 125, 130 và 119 sản phẩm. Hỏi ngày thứ năm bán được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3 Trung bình cộng số quyển truyện của ba bạn là 48 quyển. An có nhiều hơn Bình 10 quyển truyện, Chi có 54 quyển truyện. Hỏi An và Bình mỗi bạn có bao nhiêu quyển truyện?
Bài 4: Trung bình cộng khối lượng của 6 bao hàng là 52 kg. Thêm một bao hàng nặng 66 kg. Hỏi trung bình cộng khối lượng của 7 bao hàng là bao nhiêu ki-lô-gam?
Bài 5: Trung bình cộng số cây của 5 luống là 36 cây. Chuyển 8 cây từ luống thứ nhất sang luống thứ hai. Hỏi trung bình cộng số cây của 5 luống sau khi chuyển là bao nhiêu?
Đáp án gợi ý
Bài 1:
Tổng 4 số là:
72 × 4 = 288
Tổng 3 số đầu là:
65 + 70 + 78 = 213
Số thứ tư là:
288 – 213 = 75
Bài 2:
Tổng số sản phẩm trong 5 ngày là:
124 × 5 = 620
Tổng số sản phẩm trong 4 ngày đầu là:
118 + 125 + 130 + 119 = 492
Ngày thứ năm bán được:
620 – 492 = 128 sản phẩm
Bài 3:
Tổng số truyện của ba bạn là:
48 × 3 = 144
Tổng số truyện của An và Bình là:
144 – 54 = 90
Bình có:
(90 – 10) : 2 = 40 quyển
An có:
40 + 10 = 50 quyển
Bài 4:
Tổng khối lượng của 6 bao là:
52 × 6 = 312 kg
Tổng mới là:
312 + 66 = 378 kg
Trung bình cộng mới là:
378 : 7 = 54 kg
Bài 5:
Trung bình cộng vẫn là: 36 cây
Vì tổng số cây và số luống đều không thay đổi.
Kết luận
Bài toán trung bình cộng không chỉ là “cộng rồi chia”. Khi hiểu bản chất của tổng và số lượng số hạng, học sinh có thể xử lý được nhiều bài toán nâng cao như tìm số chưa biết, thêm bớt một số, kết hợp với tổng – hiệu hoặc suy luận sự thay đổi của trung bình cộng.
Tại ToanTuDuy.org, các em nên luyện từng dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Mỗi lần hiểu được vì sao phải nhân, chia, cộng hoặc trừ, các em sẽ không chỉ nhớ cách làm mà còn tự tin hơn khi gặp một bài Toán mới.
